设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2,求a值

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2,求a值
设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2,求a值

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2,求a值
设函数f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋ax(a＞0) (1)当a＝1时
f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋x
＝ln[x(2-x)]＋x
f'(x)＝(2-2x)/x(2-x)＋1
令f'(x)＞0,得
(2-2x²)/x(2-x)＞0
即2(1-x)(1+x)(2-x)＞0
解得x∈(-1,1)U(2,+∞)
∴f(x)于(-1,1),(2,+∞)↑于(-∞,-1),(1,2)↓
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2
∵f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋ax(a＞0)
∴f'(x)＝(2-2x)/x(2-x)＋a
令f'(x)＞0,得
[-ax²+(2a-2)x+2]/x(2-x)＞0
当x∈(0,1]时,x(2-x)＞0恒成立
∴-ax²+(2a-2)x+2＞0,x∈(0,1]
a＞0时,设g(x)＝-ax²+(2a-2)x+2
则g(0)≥0,g(1)≥0
即2≥0,a≥0成立
∴f(x)于(0,1]↑
∴f(x)max＝f(1)＝1/2
即ln1＋ln(2-1)＋a＝1/2
即a＝1/2