已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2,+∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围.分离参数后不知怎么下手了～

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2,+∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围.分离参数后不知怎么下手了～
已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2,+∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围.
分离参数后不知怎么下手了～

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2,+∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围.分离参数后不知怎么下手了～
函数f（x）=x³+3ax²+3x+1 若x∈[2,+∞）时,f（x）≥0
即 x³+3ax²+3x+1≥0在【2,+∞）上恒成立
∴ -3ax²≤x³+3x+1在【2,+∞）上恒成立
即 -3a≤x+3/x+1/x²【2,+∞）上恒成立
设g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³
=(x³-3x-2)/x³
=(x³+x²-x²-3x-2)/x³
=[x²(x+1)-(x+1)(x+2)]/x³
=(x+1)(x+1)(x-2)/x³
当x≥2时,g'(x)恒正,
∴ g(x)递增
∴ g(x)的最小值是g(2)=15/4
∴ -3a≤15/4
即 a≥-5/4