若x、y满足3x²+2y²=6x,求函数x²+y²的值域

若x、y满足3x²+2y²=6x,求函数x²+y²的值域
若x、y满足3x²+2y²=6x,求函数x²+y²的值域

若x、y满足3x²+2y²=6x,求函数x²+y²的值域
3x²-6x+2y²=0
3(x-1)²+2y²=3
(x-1)²+y²/1.5=1
参数法,令x=1+cost,y=√1.5sint,
x²+y²=(1+cost)²+1.5sin²t=1+2cost+cos²t+1.5(1-cos²t)=2.5+2cost-0.5cos²t
记u=cost,则有x²+y²=-0.5u²+2u+2.5=-0.5(u-2)²+4.5
因为|u|

方法一：
3x^2+2y^2=6x
(x-1)^2+2/3*y^2=1
可知x的范围是 [0,2]
由 3x^2+2y^2=6x
得2x^2+2y^2=6x-x^2
x^2+y^2=1/2(6x-x^2)=-1/2*(x-3)^2+9
在[0,2]上是增函数，所以值域是 [0,4]
方法二：
3x^2+2y^2=6x的图像是个...

全部展开

方法一：
3x^2+2y^2=6x
(x-1)^2+2/3*y^2=1
可知x的范围是 [0,2]
由 3x^2+2y^2=6x
得2x^2+2y^2=6x-x^2
x^2+y^2=1/2(6x-x^2)=-1/2*(x-3)^2+9
在[0,2]上是增函数，所以值域是 [0,4]
方法二：
3x^2+2y^2=6x的图像是个过原点的椭圆中心是(1,0)，左端点是(0,0)，右端点是 (2,0)，长半轴在x轴上
而 x^2+y^2表示的就是 椭圆上的点到原点距离的平方
由椭圆的性质可知，最小值是0，最大值是2^2=4，所以值域是[0,4]

收起

y²=3x-3/2x²
x²+y²=x²+3x-3/2x²=-1/2x²+3x,当x=3时，最大值为9/2，最小值负无穷

y^2=(6x-3x^2)/2 (6x-3x^2)/2 ≥0 0≤x≤2
x²+y²=x²+(6x-3x^2)/2=-1/2(x-3)^2+9/2
由于 0≤x≤2
所以 0≤x²+y²≤4