设α,β是实系数方程ax^2+bx+c=0的两个根,若α为虚数,α^2/β是实数,求α/β的值.

设α,β是实系数方程ax^2+bx+c=0的两个根,若α为虚数,α^2/β是实数,求α/β的值.
设α,β是实系数方程ax^2+bx+c=0的两个根,若α为虚数,α^2/β是实数,求α/β的值.

设α,β是实系数方程ax^2+bx+c=0的两个根,若α为虚数,α^2/β是实数,求α/β的值.
这种题有一种常规办法是看到实数,那么实数等于共轭而不去将其展开.我阿尔法和贝塔打不出,我就用x,y来代替了,十分抱歉.
x^2/y为实数,所以x^2/y等于它的共轭.x的共轭等于y,所以x^2/y共轭等于y^2/x,即x^2/y=y^2/x,x^3=y^3,(x/y)^3=1.因为x不等于y,所以x/y不等于1,所以x/y=w,-w（w是欧密格）
数学之团成员为你解答

实系数一元二次方程有虚根必定是一对共轭虚根
设α,β分别为x+yi ,x-yi
α^2/β=(x+yi)^2 /(x-yi) =(x^2-y^2+2xyi)/(x-yi)
=(x^2-y^2+2xyi)(x+yi)/(x-yi)(x+yi)
=(x^2-y^2+2xyi)(x+yi)/(x^2+y^2)是实数
则虚部 2x^2y+(x^2-y^2)y=...

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实系数一元二次方程有虚根必定是一对共轭虚根
设α,β分别为x+yi ,x-yi
α^2/β=(x+yi)^2 /(x-yi) =(x^2-y^2+2xyi)/(x-yi)
=(x^2-y^2+2xyi)(x+yi)/(x-yi)(x+yi)
=(x^2-y^2+2xyi)(x+yi)/(x^2+y^2)是实数
则虚部 2x^2y+(x^2-y^2)y=0=y(2x^2+x^2-y^2)=y(3x^2-y^2)
=> y=0 (不合题意)
所以3x^2=y^2 => y=±(√3)x
则 x+yi=x+(√3)xi =x(1+√3 i) ;x-yi=x(1-√3 i)
或x+yi=x(1-√3 i) ;x-yi=x(1+√3 i)
∴ α/β=(1+√3 i)/(1-√3 i) 或 (1-√3 i)/(1+√3 i)
=(-1+√3 i)/2 或(-1-√3 i)/2

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