已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 ,当向量AC·向量F1F2=0时,有9向量AF1·向量AF2=向

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 12:03:56
已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,已知ABC均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上直线ABAC分别过椭圆的左

已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 ,当向量AC·向量F1F2=0时,有9向量AF1·向量AF2=向
已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,
已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 ,当向量AC·向量F1F2=0时,有9向量AF1·向量AF2=向量AF1^2
①求椭圆M的方程②设P是椭圆M上任意一点 EF为圆N:x^2+(y-2)^2=1的任一条直径 求向量PE·向量PF的最大值
那个不要复制啊,是错掉的!我都说了不要复制不要复制!·不会回答可以不回答!什么玩意啊!·

已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 ,当向量AC·向量F1F2=0时,有9向量AF1·向量AF2=向
①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2,
9向量AF1·向量AF2
=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2
=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a
=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a
=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4
椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1
②设P,E,F的坐标依次为(2cosα,(√2)sinα),(cosβ,2+sinβ),(-cosβ,2-sinβ)
则向量PE·向量PF
=(cosβ-2cosα)(-cosβ-2cosα)+
(2+sinβ-(√2)sinα)(2-sinβ-(√2)sinα)
=4(cosα)^2-4(√2)sinα+2(sinα)^2+3
=-2(sinα)^2-4(√2)sinα+7
=11-2(sinα+√2)^2
当sinα=-1时,向量PE·向量PF取最大值5+4√2

①当向量AC·向量F1F2=0时,AF2垂直于F1F2,
9向量AF1·向量AF2
=9|AF1||AF2|cosA=9|AF2|^2=|AF1|^2
=>|AF1|=3|AF2| 又|AF1|+|AF2|=2a
=>|AF1|=3a/2,|AF2|=a/2,2c=|F1F2|=(√2)a
=>a^2=2(a^2-2)=>a^2=4
椭圆M的方程为x^2/4+y^2/2=1

:(Ⅰ)因为AC→•F1F2→=0,所以有AC→⊥F1F2→
所以△AF1F2为直角三角形;
∴|AF1→|cos∠F1AF2=|AF2→|
则有9AF1→•AF2→=9|AF1→||AF2→|cos∠F1AF2=9|AF2→|2=AF1→2=|AF1→|2
所以,|AF1→|=3|AF2→|
又|AF1→|+|AF2→|=2a,

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:(Ⅰ)因为AC→•F1F2→=0,所以有AC→⊥F1F2→
所以△AF1F2为直角三角形;
∴|AF1→|cos∠F1AF2=|AF2→|
则有9AF1→•AF2→=9|AF1→||AF2→|cos∠F1AF2=9|AF2→|2=AF1→2=|AF1→|2
所以,|AF1→|=3|AF2→|
又|AF1→|+|AF2→|=2a,
∴|AF1→|=3a2,|AF2→|=a2
在△AF1F2中有|AF1→|2=|AF2→|2+|F1F2→|2
即(3a2)2=(a2)2+4(a2-1),解得a2=2
所求椭圆M方程为x22+y2=1
(Ⅱ)PE→•PF→=(NE→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NF→-NP→)•(NF→-NP→)=(-NP→)2-NF→2=NP→2-1
从而将求PE→•PF→的最大值转化为求NP→2的最大值
是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有x022+y02=1即x02=2-2y02
又N(0,2),所以NP→2=x02+(y0-2)2=-(y0+2)2+10
而y0∈[-1,1],所以当y0=-1时,NP→2取最大值9
故PE→•PF→的最大值为8

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①AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2,
9AF1*AF2=AF1^2,为方便起见,记|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c
即9rscosA=r^2
所以cosA=r/(9s)
由直角三角形可得
cosA=s/r,所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2
2a=r+s=4s,a=2...

全部展开

①AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2,
9AF1*AF2=AF1^2,为方便起见,记|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c
即9rscosA=r^2
所以cosA=r/(9s)
由直角三角形可得
cosA=s/r,所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2
2a=r+s=4s,a=2s又a^2-c^2=1,即4s^2-2s^2=1,s^2=1/2
a^2=2,
椭圆方程为x^2/2+y^2=1
②由条件可知,圆与椭圆在上顶点处外切
|EF|=2,
PE*PF=|PE||PF|cos∠EPF=(|PE|^2+|PF|^2-|EF|^2)/2
记圆心为C,则PC为三角形PEF的边EF上的中线,于是
4|PC|^2+|EF|^2=2(|PE|^2+|PF|^2)
即|PE|^2+|PF|^2=|EF|^2/2+2|PC|^2
PE*PF=2|PC|^2-|EF|^2/2=2|PC|^2-2
所以只需求|PC|的最大值
为此,我们考虑圆x^2+(y-2)^2=9与椭圆的位置关系,
联立椭圆方程可解得y仅有-1一个解,
这说明椭圆的下顶点到C的距离最远,
即|PC|的最大值为3,
所以PE*PF的最大值为16

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