已知:a,b,c,d满足a+b=c+d,a3+b3=c3+d3.求证:a2009+b2009=c2009+d2009.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:25:14
已知:a,b,c,d满足a+b=c+d,a3+b3=c3+d3.求证:a2009+b2009=c2009+d2009.
已知:a,b,c,d满足a+b=c+d,a3+b3=c3+d3.求证:a2009+b2009=c2009+d2009.
已知:a,b,c,d满足a+b=c+d,a3+b3=c3+d3.求证:a2009+b2009=c2009+d2009.
(a+b)^3=(c+d)^3展开,根据a∧3+b∧3=c∧3+d∧3约去后得
ab（a+b）=cd（c+d）,若a+b=c+d=0,则b=-a,d=-c,
a∧2009+b∧2009=c∧2009+d∧2009.=0
若a+b ≠0约去得ab=cd,
（a+b）^2=(c+d)^2得a^2+b^2=c^2+d^2
假设a^k+b^k=c^k+d^k成立k=1,2,3时以征得成立,
则（a^k+b^k）*（a+b）=（c^k+d^k）*（c+d）
即a^(k+1)+ab*b^(k-1)+b^(k+1)=c^(k+1)+cd*c^(k-1)+d^(k+1)
即a^(k+1)+b^(k+1)=c^(k+1)+d^(k+1)；
所以对一切正整数k都有a^k+b^k=c^k+d^k
k=2009时,a∧2009+b∧2009=c∧2009+d∧2009.
a^3+b^3-c^3-d^3=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)-(c+d)(c^2-cd+d^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2-c^2+cd-d^2)=0
如果a+b=0，则a=-b c=-d，则a^2009+b^2009=c^2009+d^2009=0
如果a^2-ab+b^2-c^2+cd-d^2=0
(a+b)^2-3ab-(c+d...
全部展开
a^3+b^3-c^3-d^3=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)-(c+d)(c^2-cd+d^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2-c^2+cd-d^2)=0
如果a+b=0，则a=-b c=-d，则a^2009+b^2009=c^2009+d^2009=0
如果a^2-ab+b^2-c^2+cd-d^2=0
(a+b)^2-3ab-(c+d)^2+3cd=0
ab=cd
a^2+b^2=c^2+d^2
令a+b=c+d=k
b=k-a d=k-c
2a^2+k^2-2ak=2c^2+k^2-2ck
a^2-ak-c^2+ck=0
(a+c)(a-c)-k(a-c)=0
(a-c)(a+c-k)=0
a=c或k=a+c=a+b=c+d，即a=d且b=c
所以a=c且b=d，或a=d且b=c
所以a^2009+b^2009=c^2009+d^2009
收起
a3+b3=c3+d3
可化为
(a+b)(a2-ab+b2)=(c+d)(c2-cd+d2)
因为a+b=c+d
所以
a2+b2-ab=c2+d2-cd
上式，可化为
a2+b2+2ab-3ab=c2+d2+2cd-3cd
可化为
(a+b)2-3ab=(c+d)2-3cd
因为a+b=c+d
于是，解得<...
全部展开
a3+b3=c3+d3
可化为
(a+b)(a2-ab+b2)=(c+d)(c2-cd+d2)
因为a+b=c+d
所以
a2+b2-ab=c2+d2-cd
上式，可化为
a2+b2+2ab-3ab=c2+d2+2cd-3cd
可化为
(a+b)2-3ab=(c+d)2-3cd
因为a+b=c+d
于是，解得
ab=cd
联立
a+b=c+d
ab=cd
有式子
(a+b)2-4ab=(c+d)2-4cd
所以
a-b=c-d
a+b=c+d
解得
a=c
b=d
所以
a2009+b2009=c2009+d2009
收起