已知函数f(x)定义在区间（-1,1）上,f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),又数列{an}满足a1=1/2,an+1=(2an)/(1+an^2).设bn=1/f(a1)+.1/f(an).求f（an）的表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 00:57:07
已知函数f(x)定义在区间（-1,1）上,f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),又数列{an}满足a1=1/2,an+1=(2an)/(1+an^2).设bn=1/f(a1)+.1/f(an).求f（an）的表达式
已知函数f(x)定义在区间（-1,1）上,f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),
又数列{an}满足a1=1/2,an+1=(2an)/(1+an^2).设bn=1/f(a1)+.1/f(an).求f（an）的表达式
已知函数f(x)定义在区间（-1,1）上,f(1/2)=-1,且当x,y属于(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),又数列{an}满足a1=1/2,an+1=(2an)/(1+an^2).设bn=1/f(a1)+.1/f(an).求f（an）的表达式
函数f(x)定义在区间（-1,1）上,当x,y属于(-1,1)时,恒有f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)),
则取x=y,有f(0)=0;取x=0,有-f(y)=f(-y),
所以f(x)在(-1,1)上是奇函数.
取y=-x,有f(2x/(1+x^2))=2f(x);
由an+1=(2an)/(1+an^2),a1=1/2,
得(1-an)^2>0,an属于(-1,1),
所以f(an+1)=f[(2an)/(1+an^2)]=2f(an),
又a1=1/2,f(1/2)=-1,得数列{f(an)}为首项-1,公比2的等比数列,f(an)=-2^(n-1).
"设bn=1/f(a1)+.1/f(an)"条件没有用.
是不是要求数列{bn}的通项啊?
令x=y=1/2 ,代入方程f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)可得 f(0)=0 。令x=0,y≠0，代入f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy) 可得 f(-y)=-f(y),即函数为奇函数。令x=1/2，y=-1/2，代入f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy) 得f(4/5)=-2 。
其他的结果不再列举了。先在该解决正题了。
如果我们令 x=...
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令x=y=1/2 ,代入方程f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy)可得 f(0)=0 。令x=0,y≠0，代入f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy) 可得 f(-y)=-f(y),即函数为奇函数。令x=1/2，y=-1/2，代入f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy) 得f(4/5)=-2 。
其他的结果不再列举了。先在该解决正题了。
如果我们令 x=-y ，代入f(x)-f(y)=f((x-y)/(1-xy))可以得 f(x)-f(-x)=f(x-[-x])/(1-x*[-x])进一步得 f(x)=(1/2)*f(2x/1+x^2) {注：此处为重要结论，到此步问题已经解决大半了，值得庆贺！！！}
现在令x=an 则有 f(an)=(1/2)*f(an/1+an^2)注意看表达式右侧的函数表达式括号里的表达式，显然 an/1+an^2=an+1 ,于是得 f(an+1)=2f(an) ,f(a1)=f(1/2)=-1 ,f(a2)=2*f(a1)=-2 ,剩下的不用我多说了吧！真是好累，做到这一步真是不容易，如果是高考题的话，估计百分之九十九的人都会挂！
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