已知有理数A,B,C,且A+B+C=1,A的平方+B的平方+C的平方-AB-BC-AC=0,则A,B,C之间的关系

已知有理数A,B,C,且A+B+C=1,A的平方+B的平方+C的平方-AB-BC-AC=0,则A,B,C之间的关系
已知有理数A,B,C,且A+B+C=1,A的平方+B的平方+C的平方-AB-BC-AC=0,则A,B,C之间的关系

已知有理数A,B,C,且A+B+C=1,A的平方+B的平方+C的平方-AB-BC-AC=0,则A,B,C之间的关系
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
两边乘2并整理
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+c^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
平方大于等于0,相加等于0
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
a+b+c=1
所以a=b=c=1/3

A+B+C=1 (1)
A^2+B^2+C^2-AB-AC-BC=0 (2)
(A+B+C)^2＝A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC＝1
A^2+B^2+C^2-AB-AC-BC＝(A+B+C)^2-3(AB+AC+BC)=1-3(AB+AC+BC)=0
AB+AC+BC=1/3
A^2+B^2+C^2=1/3

a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=0方程左右两边统乘以2，得:2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
整理，得：(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
∴a=b=c
∵a+b+c=0
∴a=b=c=1/3