已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值；若不存在说明理由.

已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值；若不存在说明理由.
已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值；若不存在说明理由.

已知关于x的方程2X²-4nX-2n=1和X²-(3n-1)X+2n²-3n=2,问是否存在这样的n值,使得第一个方程的两实数根的平方和等于第二个方程的一整数根?若存在,求出这样的n值；若不存在说明理由.
2x²-4nx-2n=1 2x²-4nx-2n-1=0
x²-(3n-1)x+2n²-3n=2 x²-(3n-1)x+2n²-3n-2=0
两方程均有实根,判别式△≥0
(-4n)²-8(-2n-1)≥0 2n²+2n+1≥0 2(n+ 1/2)² +1/2≥0 n为任意实数
[-(3n-1)]²-4(2n²-3n-2)≥0 n²+6n+9≥0 (n+3)²≥0 n为任意实数
设方程2x²-4nx-2n=1两根分别为x1,x2
2x²-4nx-2n-1=0
由韦达定理得x1+x2=2n x1·x2=-(2n+1)/2
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2
=(2n)²-2[-(2n+1)/2]
=4n²+2n+1
假设x=4n²+2n+1是第二个方程的根,x=4n²+2n+1代入第二个方程
(4n²+2n+1)²-(3n-1)(4n²+2n+1)+2n²-3n-2=0
(4n²+2n+1)²-(3n-1)(4n²+2n+1)+(n-2)(2n+1)=0
[(4n²+2n+1)-(n-2)][(4n²+2n+1)-(2n+1)]=0
4n²(4n²+n+3)=0
4n²+n+3=4(n +1/8)²+47/16恒>0,因此只有n=0

存在．理由如下：
设方程2x²-4nx-2n=1的两根为x₁，x₂，变形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，
x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-2n+12，
∴x₁

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存在．理由如下：
设方程2x²-4nx-2n=1的两根为x₁，x₂，变形方程得到方程2x²-4nx-2n-1=0，
x₁+x₂=2n，x₁•x₂=-2n+12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4n²+2n+1，
对于方程x²-（3n-1）x+2n²-3n-2=0，△=（3n-1）²-4（2n²-3n-2）=n2+6n+9=（n+3）²，
∴x=

 

3n−1±(n+3)22，即x₁=2n+1，x₂=n-2，
当4n²+2n+1=2n+1，解得n=0；
当4n²+2n+1=n-2，整理得4n²+n+3=0，△＜0，方程无解，
∴m的值为0．

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