a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0

a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0
a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0
a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0

a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0a+b=1 求(1/a²-1)(1/b²-1)最小值 a>0 b>0
(1/a^2-1)*(1/b^2-1)
=(1-a^2)/a^2 * (1-b^2)/b^2
=(1-a)(1+a)/a^2 * (1-b)(1+b)/b^2
=b*(1+a)/a^2 * a*(1-b)(1+b)/b^2
=(1+a)(1+b)/(ab)
=(1+a+b+ab)/(ab)
=(1+1+ab)/(ab)
=(2+ab)/(ab)
=1+2/ab
因为 a>0,b>0
所以 1=a+b≥2√(ab)
ab≤(1/2)^2
1/ab≥4
(1/a^2-1)*(1/b^2-1)=1+2/ab≥1+2*4
(1/a^2-1)*(1/b^2-1)≥9
(1/a^2-1)*(1/b^2-1)的最小值为9