一道数学题：已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）,求cos2x+tanθsinx 的值域 x∈R

一道数学题：已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）,求cos2x+tanθsinx 的值域 x∈R
一道数学题：已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）,
求cos2x+tanθsinx 的值域 x∈R

一道数学题：已知向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直,其中θ∈（0,π/2）,求cos2x+tanθsinx 的值域 x∈R
∵向量a=（sinθ,-2）与b=（1,cosθ）互相垂直
∴向量a×向量b=0→sinθ-2cosθ=0→tanθ=2
有cos2x+tanθsinx =cos2x+2sinx =（根号5）sin（θ+α）（α=arctanα=1/2)
∴ cos2x+tanθsinx 的值域为{-根号5,根号5]

a·b=sinθ-2cosθ=0
所以 tanθ=2
画直角三角形，三边长分别为1,2,sqr(5)
所以 sinθ=2/sqr(5), cosθ=1/sqr(5)
(2) 因为θ,φ都是锐角，sin(θ-φ)>0
所以0<φ<θ<π/2
画直角三角形，三边长分别为1,3,sqr(10)
sin(θ-φ)=1/sqr(10)
cos(...

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a·b=sinθ-2cosθ=0
所以 tanθ=2
画直角三角形，三边长分别为1,2,sqr(5)
所以 sinθ=2/sqr(5), cosθ=1/sqr(5)
(2) 因为θ,φ都是锐角，sin(θ-φ)>0
所以0<φ<θ<π/2
画直角三角形，三边长分别为1,3,sqr(10)
sin(θ-φ)=1/sqr(10)
cos(θ-φ)=3/sqr(10)
由(1)知：sinθ=2/sqr(5), cosθ=1/sqr(5)
所以cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=sqr(2)/2
*注sqr(x)表示 根号下x

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