一道数列题 设A1=1,A2=5/3,An+2=5/3*An+1-2/3*An(n为正整数）（1）令Bn=An+1-An(n为正整数）,求数列{Bn}的通项公式；（2）求{nAn}的前n项的和Sn.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 08:15:56
一道数列题 设A1=1,A2=5/3,An+2=5/3*An+1-2/3*An(n为正整数）（1）令Bn=An+1-An(n为正整数）,求数列{Bn}的通项公式；（2）求{nAn}的前n项的和Sn.
一道数列题
设A1=1,A2=5/3,An+2=5/3*An+1-2/3*An(n为正整数）
（1）令Bn=An+1-An(n为正整数）,求数列{Bn}的通项公式；
（2）求{nAn}的前n项的和Sn.
一道数列题 设A1=1,A2=5/3,An+2=5/3*An+1-2/3*An(n为正整数）（1）令Bn=An+1-An(n为正整数）,求数列{Bn}的通项公式；（2）求{nAn}的前n项的和Sn.
楼上的答案慎用,不过第1问方法是对的.
关于型如An+2=pAn+1+qAn可以告诉你怎么去求,对于本题的An,如果第1问没有告诉你Bn=An+1-An,你怎么办?让我告诉你吧：
求法1（繁琐但推荐）
由An+2=5/3*An+1-2/3*An
有An+2-2An+1=-1/3（An+1-2An）
即（An+2-2An+1）/（An+1-2An）=-1/3
所以{An+1-2An}是以首项为-1/3,公比为-1/3的等比数列
求得An+1-2An=-（1/3）^n
记S（n）=An+1-2An
于是An+1=S（n）+2S（n-1）+4S（n-2）+...+2^(n-1)S(1)=.(等比数列求和太长省略)=3/7*2^(n+1)-3/7*(-1/3)^(n+1)
所以An=3/7*2^n-3/7*(-1/3)^n
求法2（简单但难懂不推荐,考试可能的0分,慎用主观题）
由An+2=5/3*An+1-2/3*An
构造1元2次方程3X^2-5X+2=0
解得2个不等实根X1=2,X2=-1/3
从而可以设An=p2^n+q(-1/3)^n (不要问我WHY,到了大学你就可能会知道WHY了)
带定系数p q由A1 A2求得,以下同求法1.
注：求法2的方程如果解得2相等实根或2虚根的话,An的通项就不能那么设了,但鉴于高中阶段这种数列已经是用高中方法可以求出通项的最难的数列了,出题人肯定不会贱到那么出.好好的将方法2熟练地运用与客观题中吧,相信别人花个20分钟的题你1分多钟就解决了,是不是很有成就感呢?
A(n+2)-A(n+1)=2/3*(A(n+1)-A(n))，所以B(n)是等比数列。
B(1)=2/3，所以B(n)=(2/3)^n。
nA(n)=5/3*n*A(n-1)-2/3*n*A(n-2)
(n-1)A(n-1)=5/3*(n-1)*A(n-2)-2/3*n*A(n-3)
...
3*A(3)=5/3*3*A2-2/3*3*A(1)
2...
全部展开
A(n+2)-A(n+1)=2/3*(A(n+1)-A(n))，所以B(n)是等比数列。
B(1)=2/3，所以B(n)=(2/3)^n。
nA(n)=5/3*n*A(n-1)-2/3*n*A(n-2)
(n-1)A(n-1)=5/3*(n-1)*A(n-2)-2/3*n*A(n-3)
...
3*A(3)=5/3*3*A2-2/3*3*A(1)
2*A(2)=10/3
1*A(1)=1
求和，有Sn=5/3*n*A(n-1)+7/3。
由B(n)=(2/3)^n=A(n+1)-A(n)
所以A(n)=3-2*(2/3)^n。
所以A(n-1)=3-2*(2/3)^(n-1)
故Sn=5/3*n*（3-2*(2/3)^(n-1)）+7/3
具体我就不算了哦~
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