已知数列an中,a1=1,当n≥2时,an=（√Sn+√S（n-1））/2,（1）证明数列√Sn是一个等差数列（2）求an

已知数列an中,a1=1,当n≥2时,an=（√Sn+√S（n-1））/2,（1）证明数列√Sn是一个等差数列（2）求an
已知数列an中,a1=1,当n≥2时,an=（√Sn+√S（n-1））/2,（1）证明数列√Sn是一个等差数列（2）求an

已知数列an中,a1=1,当n≥2时,an=（√Sn+√S（n-1））/2,（1）证明数列√Sn是一个等差数列（2）求an

过程如图所示.

（1）根据数列定义
an=sn-s(n-1)=(√Sn+√S(n-1))*(√sn-√s(n-1))
由题意
an=（√Sn+√S（n-1））/2
即
(√Sn+√S(n-1))*(√sn-√s(n-1))＝（√Sn+√S（n-1））/2
化简后，得
√sn-√s(n-1)=1/2=常数
即√Sn是个等差数列

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（1）根据数列定义
an=sn-s(n-1)=(√Sn+√S(n-1))*(√sn-√s(n-1))
由题意
an=（√Sn+√S（n-1））/2
即
(√Sn+√S(n-1))*(√sn-√s(n-1))＝（√Sn+√S（n-1））/2
化简后，得
√sn-√s(n-1)=1/2=常数
即√Sn是个等差数列
（2）根据条件，可以求出
a1=1,s1=1
a2=5/4,s2=9/4
a3=7/4,s3=16/4
a4=9/4,s4=25/4
下面用数学归纳法
猜测，当n≥2时，an=(2n+1)/4,Sn=(n+1)^2/4
很显然当n=2时成立
设当n=k(k≥2)时亦成立
即ak=(2k+1)/4,Sk=(k+1)^2/4
根据第一问的推论√sn-√s(n-1)=1/2可知
√S(k+1)-√Sk=1/2,其中S(k+1)=Sk+a(k+1),代入解得
a(k+1)=(2k+3)/4=[2(k+1)+1]/4,S(k+1)=(k+1+1)^2/4
即说明当n=k+1时，亦成立
故而得到，对于所有的n≥2时，结论成立
综上所述，得到
当n=1时，an=1
当n≥2时，an=(2n+1)/4

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