证明不定方程x²+y²-8z=6无整数解是不是这种x²+y²=kz+b(k,b为常数)的方程,只有两边同余才有整数解?为什么呢?

证明不定方程x²+y²-8z=6无整数解是不是这种x²+y²=kz+b(k,b为常数)的方程,只有两边同余才有整数解?为什么呢?
证明不定方程x²+y²-8z=6无整数解
是不是这种x²+y²=kz+b(k,b为常数)的方程,只有两边同余才有整数解?
为什么呢?

证明不定方程x²+y²-8z=6无整数解是不是这种x²+y²=kz+b(k,b为常数)的方程,只有两边同余才有整数解?为什么呢?
x²+y²-8z=6
x²+y²=6+8z
右边是偶数,显然x²,y²,同为奇数或者同为偶数
假设同为偶数
存在 整数 n,m
这设x=2n y=2m
n^2+m^2=6/4+2z 显然6/4不是整数,故n,m不存在整数
假设同为奇数
设x=n-1,y=m-1 n,m是偶数
(n-1)^2+(m-1)^2=6+8z
n^2+m^2=6+8z+2n+2m-2
n^2+m^2=4+8z+2n+2m
n,m是偶数存在整数 a,b
n=2a m=2b
n^2+m^2=4+8z+2n+2m
4a^2+4b^2=4+8z+4a+4b
a^2+b^2=1+2z+a+b
讨论a,b奇偶性质
若果 同偶
显然左边偶数,右边是奇数 不成立
如果同奇
显然还是左边偶数,右边是奇数 不成立
如果一奇一偶
左边是奇数,右边是偶数还是不成立
综上得证

假设x²+y²-8z=6有整数解
所以x²+y²=8z+6=2（4z+3)
2（4z+3)是偶数，所以x²+y²也是偶数
所以x²和y²都是偶数
所以x和y都是偶数
所以x²和y²都是4的倍数
所以2（4z+3)是四的倍数
所以（4z+3)是偶...

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假设x²+y²-8z=6有整数解
所以x²+y²=8z+6=2（4z+3)
2（4z+3)是偶数，所以x²+y²也是偶数
所以x²和y²都是偶数
所以x和y都是偶数
所以x²和y²都是4的倍数
所以2（4z+3)是四的倍数
所以（4z+3)是偶数
（4z+3)不可能是偶数
所以假设不成立，所以x²+y²-8z=6无整数解

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相等的整数当然必然同余，所以只有两边同余才有整数解是肯定对的相等的整数当然必然同余，但是同余的未必相等啊这是“必要”条件，你问的是“必要条件”，而你这里追问的是“充要”条件，“只有两边同余才有整数解？”根本不需要"同余的未必相等啊"...

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相等的整数当然必然同余，所以只有两边同余才有整数解是肯定对的

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靠，高手不少啊，同上。
不是同余才有整数解。如1^2+2^2=5 2*1+3=5所以不一定只有同余才有整数解