函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 22:47:44
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
1.由题意可知g(x)是一个奇函数.所以f(x)-2/3也为奇函数.
f(x)-2/3=1/3x^3+ax^2+bx+c-2/3为奇函数
所以其所有x的偶数次方项的系数均为0.
由此可得a=0,c=2/3
2.由1可得f(x)=1/3x^3+bx+2/3
因为方程f(x)=0有三个不相同的实数根,且其为一个三次函数,可得其极大值大于0,极小值小于0
求导,f'(x)=x^2+b.
因为f'(x)有两个不同零点,所以b
(1)、由题意知g(x)=f(x)-2/3=(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3为奇函数
所以对任意x都有g(x)+ g(-x)=0，即
[(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3]+[ (1/3)(-x)³+a(-x)²+b(-x)+c-2/3]=0
化简得2ax²+2c-4/3=0
要使...
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(1)、由题意知g(x)=f(x)-2/3=(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3为奇函数
所以对任意x都有g(x)+ g(-x)=0，即
[(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3]+[ (1/3)(-x)³+a(-x)²+b(-x)+c-2/3]=0
化简得2ax²+2c-4/3=0
要使上等式对任意x恒成立，只有a=0，进而可算得c=2/3
(2)、由(1)可得f(x)= (1/3)x³+bx+2/3
对f(x)求导得f’(x)=x²+b
显然，若b≥0，则f’(x)≥0，原函数f(x)为单调增函数，方程f(x)=0只有一个解，不符题意，所以只有b<0
令f’(x)≥0以求原函数f(x)的增区间得x²+b≥0，解之得x≤-√(-b)或x≥√(-b)
令f’(x)≤0以求原函数f(x)的减区间得x²+b≤0，解之得-√(-b)≤x x≤√(-b)
从而可知，函数f(x)的图像是一个“N”形的曲线，且知
f(x)在x= -√(-b)时取得极大值，极大值=f(-√(-b))=(2/3)[1-b√(-b)]
f(x)在x=√(-b)时取得极小值，极小值=f(√(-b))=(2/3)[1+b√(-b)]
要使方程f(x)=0有三个不相同的实数根，只有，极小值<0<极大值，即
(2/3)[1+b√(-b)]<0<(2/3)[1-b√(-b)]，结合上面得出的b<0，解这个不等式组得
b<-1
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