若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值

若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值

若复数z满足arg(z+4)=π/6,则|z|的最小值
z+4=r(cosπ/6+isinπ/6)
z=(√3/2r-4)+ir/2
|z|²=((√3/2r-4)²+r²/4
=r²-4√3r+16
=(r-2√3)²+4>=4
|z|>=2
最小值是2

【【【注：该题涉及到幅角主值，最好用“向量知识”。】】

可设向量z=(x,y), (x, y∈R)
又设向量a=(-4,0)
易知，z+4的意义，就是两个向量z,与a的差。
即：z+4=z-a=(x,y)-(-4,0)=(x+4, y)

由arg(z+4)=π/6可知，点（x+4, y)在射线L上，
射线L的端点是原点，且...

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【【【注：该题涉及到幅角主值，最好用“向量知识”。】】

可设向量z=(x,y), (x, y∈R)
又设向量a=(-4,0)
易知，z+4的意义，就是两个向量z,与a的差。
即：z+4=z-a=(x,y)-(-4,0)=(x+4, y)

由arg(z+4)=π/6可知，点（x+4, y)在射线L上，
射线L的端点是原点，且与x轴的正方向夹角为30º。
∴y/(x+4)=tan30º=(√3)/3
∴(√3)y=x+4.===>3y²=(x+4)²

|z|²=x²+y²=x²+[(x+4)²/3]
=(4x²+8x+16)/3
=[(2x+2)²+12]/3
=[(2x+2)²/3]+4
即恒有：|z|²=[(2x+2)²/3]+4≥4
∴|z|≥2
∴最小值=2

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