若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P的一条“相关弦”①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最

若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P的一条“相关弦”①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最
若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点
P的一条“相关弦”
①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;
②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最大值.
是y平方，感激不尽

若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P的一条“相关弦”①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最
若A、B是抛物线y²=4x上的不同点,弦AB（不平行y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P的一条“相关弦”
①求点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标;
②求点P（4,0）的所有“相关弦”的弦长的最大值.
(1)解析：∵抛物线y^2=4x
设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且A(x1,y1),B(x2,y2),（x1≠x2）
则,y1^2=4x1,y2^2=4x2
∴y1^2- y2^2=4x1-4x2
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym)
∴k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=2/ym
则弦AB的垂直平分线方程为y-ym=-2/ym(x-xm)
又∵点P(x0,0)在弦AB的垂直平分线上
∴-ym=-2/ym(x0-xm)==>xm=x0-2
∴点P（4,0）的“相关弦”的中点的横坐标这4-2=2
(2)解析：由（1）可知弦AB方程为y-ym=k(x-xm)
与抛物线联立,代入抛物线得k^2x^2+2[k(ym-kxm)-2]+(ym-kxm)^2=0
则x1x2=(ym-kxm)^2/k^2=(ym-kxm)^2/(2/ym)^2=(ym^2-2xm)^2/4
令点P相关弦AB长为d
|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)(x1-x2)^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=4(1+k^2)(xm^2-x1x2)
=4[1+(2/ymk)^2][xm^2-(ym^2-2xm)^2/4]
=[(ym^2+4)/ym^2][4ym^2xm-ym^4]
=(4+ym^2)(4xm-ym^2)=-ym^4+4ym^2(xm-1)-4(xm-1)^2+16xm+4(xm-1)^2
=4(xm+1)^2-[ym-2(xm-1)]^2
=4(x0-1)^2-[ym^2-2(x03)]^2
∵0

设A(a²/4,a), B(b²/4,b)
AB不与Y轴平行,即 a²/4<>b²/4, a²<>b², a<>b 或 a<>-b
AB的中点为C((a²+b²)/8,(a+b)/2)
AB的斜率K=(a-b)/(a²/4-b²/4)=4/(a+b)
AB的垂线斜率k...

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设A(a²/4,a), B(b²/4,b)
AB不与Y轴平行,即 a²/4<>b²/4, a²<>b², a<>b 或 a<>-b
AB的中点为C((a²+b²)/8,(a+b)/2)
AB的斜率K=(a-b)/(a²/4-b²/4)=4/(a+b)
AB的垂线斜率k'=-1/k=-(a+b)/4
设垂线方程L: y=-(a+b)/4x+c, 则 (a+b)/2=-(a+b)/4*(a²+b²)/8+c, c=(a+b)(a²+b²+16)/32
令y=0, c=(a+b)/4*4, (a+b)(a²+b²+16)/32=(a+b), a²+b²-16=0, a²+b²=16
所以横坐标=(a²+b²)/8=16/8=2

AB²=(a²/4-b²/4)²+(a-b)²=(a+b)²(a-b)²/16+(a-b)²=(a-b)²[(a+b)²/16+1]
=(a²-2ab+b²)[(a²+2ab+b²)/16+1]=(16-2ab)[(16+2ab)/16+1]
=(8-ab)(16+ab)/4=(128-8ab+(ab)²)/4=(144-16-8ab-(ab)²)/4
=36-(4+ab)²/4
当ab=-4时, AB²最大, 所以AB最大=6

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