用数学归纳法证明:(1)n(n+1)(2n+1)能被6整除 (2)6^(2n-1)+1能被7整除

用数学归纳法证明:(1)n(n+1)(2n+1)能被6整除 (2)6^(2n-1)+1能被7整除
用数学归纳法证明:(1)n(n+1)(2n+1)能被6整除
(2)6^(2n-1)+1能被7整除

用数学归纳法证明:(1)n(n+1)(2n+1)能被6整除 (2)6^(2n-1)+1能被7整除
证明:
(1)当n=1时,n(n+1)(2n+1)＝1*(1+1)(2*1+1)=6
显然能被6整除
设n=k时,k(k+1)(2k+1)能被6整除
当n=k+1时,(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
=(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)k(2k+3)+2(k+1)(2k+3)
=(k+1)k(2k+1)+2k(k+1)+2(k+1)(2k+3)
=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(3k+3)
=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2
由假设知k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2能被6整除
所以当n=k+1时,命题成立
所以原命题得证．
(2)6^(2n-1)+1能被7整除
当n=1时,6^(2*1-1)+1=6+1=7,能被7整除；
假设当n=k时,即6^(2k-1)+1能被7整除
那么当n=k+1时： 6^[2(k+1)-1]+1
=6^(2k+1)+1
=6^[(2k-1)+2]+1
=6^(2k-1)*6^2+1
=6^(2k-1)*36+1
=6^(2k-1)*(35+1)+1
=6^(2k-1)*35+6^(2k-1)+1
=6^(2k-1)*7*5+[6^(2k-1)+1]
由假设知6^(2k-1)*7*5+[6^(2k-1)+1]能被7整除
所以当n=k+1时,原命题也成立
所以原题得证

1、当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，能被6整除；
假设当n=k时，n(n+1)(2n+1)也能被6整除，即：
k(k+1)(2k+1)
=k(2k^2+3k+1)
=2k^3+3k^2+k能被6整除
那么当n=k+1时，原式为：
(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)*k+(k+1)(k+2)(k+3)...

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1、当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，能被6整除；
假设当n=k时，n(n+1)(2n+1)也能被6整除，即：
k(k+1)(2k+1)
=k(2k^2+3k+1)
=2k^3+3k^2+k能被6整除
那么当n=k+1时，原式为：
(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)(k+2)*k+(k+1)(k+2)(k+3)
显然这个式子由两部分组成，每一部分都由连续的三个整数相乘，而连续的三个整数中必定有一个是2的倍数，也必定有一个是3的倍数，所以每部分都是6的倍数，那么整个式子也是6的倍数，即能被6整除，得证。
2、当n=1时，6^(2*1-1)+1=6+1=7,能被7整除；
假设当n=k时，即6^(2k-1)+1能被7整除，
那么当n=k+1时：
6^[2(k+1)-1]+1
=6^(2k+1)+1
两式相减得：
[6^(2k+1)+1]-[6^(2k-1)+1]
=6^(2k+1)-6^(2k-1)
=[(6^2k)*6]-[(6^2k)/6]
=[(6^2k)*6^2-(6^2k)]/6
=[(6^2k)*(36-1)]/6
=[(6^2k)*35]/6
=6^(2k-1)*7*5
显然这个结果能被7整除，而[6^(2k-1)+1]已假设能被7整除，所以[6^(2k+1)+1]也能被7整除；
综上所述，得证。

收起

数学归纳法关键的就是那么几步，n＝1时、n＝k时、注明n=k+1时即可。