已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:(2)证明:若对x1,x2,有x1-2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:(2)证明:若对x1,x2,有x1-2
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:
(2)证明:若对x1,x2,有x1（3）在（1）的基础上,设f(x)=0的另一实根为X0,若方程f(x)+a=0有解.证明x0>-2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:(2)证明:若对x1,x2,有x1-2
(1)由于f(1)=0,可得a+b+c=0,得到b=-(a+c)
对于二次函数f(x)=ax²+bx+c,且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c,a≠c)
所以与x轴有两个相异交点
(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c,很容易得知其对称轴为x=-b/2a,下面分步讨论
当a>0时：
若x2>x1≥=-b/2a,此时f(x)为增函数,由x2>x1,可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2

第一问：
1) 由f(1)=0可知a+b+c=0，即b=-(a+c)
2) f(x)=0的△=b^2-4ac=[-(a+c)]^2-4ac=(a-c)^2，因为a>c，所以△=(a-c)^2>0，故f(x)的图象与x轴有2个相异交点
第二问：
3) 记g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2，则g(x1)=[f(x1)-f(x2)]/2，g(x2)=[f(...

全部展开

第一问：
1) 由f(1)=0可知a+b+c=0，即b=-(a+c)
2) f(x)=0的△=b^2-4ac=[-(a+c)]^2-4ac=(a-c)^2，因为a>c，所以△=(a-c)^2>0，故f(x)的图象与x轴有2个相异交点
第二问：
3) 记g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2，则g(x1)=[f(x1)-f(x2)]/2，g(x2)=[f(x2)-f(x1)]/2
4) 因为f(x1)不等于f(x2)，所以g(x1)、g(x2)是一正一负的两个相反数
5) 根据二次函数的连续性，可知(x1, x2)内必然存在某个x'，满足g(x')=0，即方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2必有一实根在区间(x1, x2)内
第三问：
6) 根据韦达定理，可知1*x0=c/a，于是x0=c/a
7) 注意a>b>c，显然a不等于0，如果a是负数，那么c也是负数，根据1)可知b是正数，这和a>b矛盾，因此a>0
8) 由a>b可知a>-(a+c)，即-2a-2
第三问的证明没有使用f(x)+a=0有解这个条件。事实上，根据f(x)+a=0有解这个条件，还可知道x0>=3或者x0<=-1

收起

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)
对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点
(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>...

全部展开

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)
对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点
(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>0时：
若x2>x1≥=-b/2a，此时f(x)为增函数，由x2>x1，可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2<[f(x2)+f(x2)]/2=f(x2)
所以f(x1)由f(x)此时的增函数性质可知，x1若-b/2a≥x2>x1，此时函数为单调减函数，与上面过程同理也能得到x1若x1<-b/2af(-b/2a),f(x2)>f(-b/2a),
取f(x1)很显然在区间[-b/2a,x2]中，f(x)是增函数，所以得到-b/2a取f(x1)>f(x2)，则有则有f(x1)>f(x)>f(x2)，那么可以得到f(x1)>f(x)>f(-b/2a)很显然在区间[x1,-b/2a]中，f(x)是减函数，所以得到x1当a<0时，与a>0同理，均可得到x1所以结论得证

收起

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)
对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点
(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>...

全部展开

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)
对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点
(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>0时：
若x2>x1≥=-b/2a，此时f(x)为增函数，由x2>x1，可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2<[f(x2)+f(x2)]/2=f(x2)
所以f(x1)由f(x)此时的增函数性质可知，x1若-b/2a≥x2>x1，此时函数为单调减函数，与上面过程同理也能得到x1若x1<-b/2af(-b/2a),f(x2)>f(-b/2a),
取f(x1)很显然在区间[-b/2a,x2]中，f(x)是增函数，所以得到-b/2a取f(x1)>f(x2)，则有则有f(x1)>f(x)>f(x2)，那么可以得到f(g2a)很显然在区间[x1,-b/2a]中，f(x)是减函数，所以得到x1g所以结论得证 hggggggggggg

收起