对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证：f(x)恒为0

对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证：f(x)恒为0
对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证：f(x)恒为0

对任意的a,b属于实数,f(ab)=af(b)+bf(a) 且f(x)的绝对值≤1 求证：f(x)恒为0
令a=b=0,则f(0)=0,对于任意非零实数x0,令b=x0,
则f(ax0)=af(x0)+x0f(a),
当a≠0时,f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a,
因为lim(a→∞)(1/a)=0,│f(a)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(a)/a)=0,
因为lim(a→∞)(1/(ax0))=0,│f(ax0)│≤1,
所以lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))=0,
因此,对f(x0)/x0=f(ax0)/ax0-f(a)/a两边同取极限,得,
lim(a→∞)(f(x0)/x0)=lim(a→∞)(f(ax0)/(ax0))-lim(a→∞)(f(a)/a)=0
但f(x0)/x0是常数,
故f(x0)/x0是常数,故f(x0)/x0=0
即f(x0)=0.
综上,f(x0)=0