函数f(x) 对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立 且方程f(x)=0有2007个解 则这2007个解之和为

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 17:38:19
函数f(x)对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立且方程f(x)=0有2007个解则这2007个解之和为函数f(x)对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立且方程f(x)=0有2

函数f(x) 对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立 且方程f(x)=0有2007个解 则这2007个解之和为
函数f(x) 对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立 且方程f(x)=0有2007个解 则这2007个解之和为

函数f(x) 对于任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)恒成立 且方程f(x)=0有2007个解 则这2007个解之和为
因为f(1+x)=f(1-x)
所以fx对称轴为x=1
因为有2007个解
所以肯定有一个解落在x=1处,其他2006个关于x=1呈对称分布
随便取一对出来,他们的和都是2
所以1003对的和为2006
加上1
随后的结果是2007
不清楚的还可以来问我`(*∩_∩*)′.

因为若f(x)=0,则f(2-x)=f(1-(x-1))=f(1+(x-1))=f(x)=0,也就说x,2-x同时是方程的解
若f(1)≠0，则方程f(x)=0的解只能是偶数个[注解中有x就有2-x]
2007个解除1意外，其他均可配对成x,2-x的形式,一共（2007-1）/2=1003对，每对和为2
所以2007个解之和=1+1003×2=2007

这个2007个解分别为-1002到1004-1002到1002这一部分结果为0，所以2007个解的和为2007

由f(1+x)=f(1-x)可推导出 f(x)=f(2-x)，也有f(0)=f(2)，可以看出f(x)关于x=1对称，又因为f(x)=0只有2007个解，也就是曲线于x轴交点2007个是奇数个，所以对称点就是一个解f(1)=0;
其它解都关于x=1对称，2个对应的解之和等于2，所以2007个解之和为(2006/2)*2+1=2007

由题意知：函数关于直线X=1对称。考虑到它有奇数（2007)个解，所以X=1是中间解。他两侧各有1003个解，且关于X=1对称，设F(X1)=0，则X1关于1的对称点X2也是它的解，且X1+X2=2，所以总和为2*1003+1=2007

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