若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围

若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围
若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围

若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围
√x+√y≤a√(x+y)成立,显然a>0,两边平方
x+y+2√xy≤a^2(x+y)
(a^2-1)(x+y)≥2√xy恒成立
因为x+y≥2√xy成立
所以当且仅当a^2-1≥1时,(a^2-1)(x+y)≥x+y≥2√xy
由a^2-1≥1且a>0,得
a≥√2
a的取值范围是[√2,+∞)

大于等于根号2

∵（√x+√y）^2=x+y+2√xy≤2（x+y）=2
∴√x+√y≤√2
∴√x+√y≤a
∴a≥√2

√x+√y≤a恒成立，即求得√x+√y的最大值即可
由x+y=1，得：y=1-x
√x+√y=√x+√（1-x）
所以x的取值范围是[0,1]
显然√x+√（1-x）是关于x=1/2对称的，最大值当x=1/2时取得（对√x+√（1-x）求导求出极值点）
所以√x+√y=√x+√（1-x）≤√(1/2)+√(1/2)=√2
所以，a的取值范围是：[√2...

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√x+√y≤a恒成立，即求得√x+√y的最大值即可
由x+y=1，得：y=1-x
√x+√y=√x+√（1-x）
所以x的取值范围是[0,1]
显然√x+√（1-x）是关于x=1/2对称的，最大值当x=1/2时取得（对√x+√（1-x）求导求出极值点）
所以√x+√y=√x+√（1-x）≤√(1/2)+√(1/2)=√2
所以，a的取值范围是：[√2,∞）

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