如图,已知P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求角APB的值此题需添加辅助线或者是另外构造三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/23 22:36:44
如图,已知P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求角APB的值此题需添加辅助线或者是另外构造三角形.
如图,已知P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求角APB的值
此题需添加辅助线或者是另外构造三角形.
如图,已知P是等边三角形ABC内一点,AP=3,BP=4,CP=5,求角APB的值此题需添加辅助线或者是另外构造三角形.
以PA为边长作等边△PAD,连结BD
∵∠PAD＝60°＝∠BAC
∴∠BAD＝∠PAC
∵AD＝AP,AB＝AC
∴△ABD≌△APC
∴BD＝PC＝5
∵PD＝PA＝3,PB＝4
∴∠BPD＝90°(勾股定理逆定理)
∵∠APD＝60°
∴∠APB＝∠APD＋∠BPD＝150°
设正三角形ABC的边长为a，∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ，由题意得
a²=25-24cosα=41-40cosβ=34-30cosγ。其中γ=360°-(α+β)，
所以cosγ=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，于是可得方程组
25-24cosα=41-40cosβ， ①
41-40cosβ=34-30（c...
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设正三角形ABC的边长为a，∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ，由题意得
a²=25-24cosα=41-40cosβ=34-30cosγ。其中γ=360°-(α+β)，
所以cosγ=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，于是可得方程组
25-24cosα=41-40cosβ， ①
41-40cosβ=34-30（cosαcosβ-sinαsinβ），②
由①得cosβ=(16+24cosα)/40=(2+3cosα)/5，③
由③得sinβ=±√[1-(2+3cosα)2/25]=±√(21-9cos2α-12cosα)/5，④
由②得30（cosαcosβ-sinαsinβ）-40cosβ+7=0。 ⑤
把③，④代入⑤得
30[cosα(2+3cosα)/5±sinα√(21-9cos²2α-12cosα)/5]-40(2+3cosα)/5+7=0，即
30[(2cosα+3cos²α)/5± sinα√(21-9cos²α-12cosα)/5]-16-24cosα+7=0，
12cosα+18cos²α±6 sinα√(21-9cos²α-12cosα)-16-24cosα+7=0，
18cos²α-12cosα-9=±6 sinα√(21-9cos²α-12cosα)，
6cos²α-4cosα-3=±2 sinα√(21-9cos²α-12cosα)，
两边分别平方得
4sin²α(21-9cos²α-12cosα)=36(cos²α)²+16cos²α+9-48cos²αcosα-36cos²α+24cosα，即
96 cos²αcosα-100cos²α-72 cosα+75=0，
24cosα(4cos²α-3)-25(4cos²α-3)=0，
(24cosα-25)(4cos²α-3)=0，
因为24cosα-25≠0，所以4cos²α-3=0，cos²α=3/4，
cosα=±√3/2，α=30°或α=150°。
又因为点P在正三角形内，所以α=30°不合题意，所以α=150°。
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