证明2002乘2003乘2004乘2005+1是一个整数的的平方,并求出这个整数.证明并求出整数

证明2002乘2003乘2004乘2005+1是一个整数的的平方,并求出这个整数.证明并求出整数
证明2002乘2003乘2004乘2005+1是一个整数的的平方,并求出这个整数.
证明并求出整数

证明2002乘2003乘2004乘2005+1是一个整数的的平方,并求出这个整数.证明并求出整数
令a=2002
则原式=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=[a(a+3)][(a+1)(a+2)]+1
=(a²+3a)[(a²+3a)+2]+1
=(a²+3a)²+2(a²+3a)+1
=(a²+3a+1)²
所以是一个整数的的平方
这个整数是a²+3a+1=2002²+3×2002+1=4014011

2002×2003×2004×2005+1
=2002×(2002+3)×(2002+1)×(2002+2)+1
=(2002²+2002×3)×(2002²+2002×3+2)+1
=(2002²+2002×3)²+2×(2002²+2002×3)+1
=4014010²+2×4014010+1
=(4014010+1)²
=4014011²

设x=2003
2002*2003*2004*2005+1=（x-1)x(x+1)(x+2)=x4-x2+2x3-2x+1=x4-x2+2x(x2-1)+1=(x2-1)2+2x(x2-1)+x2
=(x2-1+x)2因为x是整数，所以2002*2003*2004*2005+1是个整数的平方
依次类推任何大于2的相邻的四个数相乘后加1都是一个整数的平方