如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P,连接AP、（2012•重庆模拟）（1）若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积；（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 06:31:03
如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P,连接AP、（2012•重庆模拟）（1）若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积；（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．
如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P,连接AP、
（2012•重庆模拟）
（1）若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积；
（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．
如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P,连接AP、（2012•重庆模拟）（1）若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积；（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．
如图,E是正方形ABCD的边CD上一点,连接AE,过A作AF⊥AE
交CB的延长线于F,连接EF,取EF的中点P,连接AP
（1）若AB=2,∠DAE=30°,求四边形ABCE的面积；
（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．
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(1)在RT△ADE中,DE/AD=tan∠DAE,∴DE=2×√(3)/3=2√(3)/3,
∴S△ADE=AD×DE/2=2×2√(3)/3×1/2=2√(3)/3,
∴S四边形ABCE=4-2√(3)/3.
(2)过点P作MN∥BC交AB于N,交DC于M,则∠ANP=∠PME=90°,
∴ME=MC,(三角形中位线),MC=NB,
∵∠EAF=90°,AF=AE,PF=PE,∴∠APE=90°,AP=PE
∴∠PAN=∠EPM(同为∠APN的余角),∴△ANP≅△PME(AAS),
∴NP=ME=MC=BN,∴△BNP是等腰直角三角形,则∠BPN=45°,
∵∠NPF=∠BAP(同为∠APN的余角),
∴∠BPF=∠BPN-∠NPF=45°-∠BAP
【如果用四点共圆就非常简单了:∠ABF=∠APF=90°
∴AFBP四点共圆,∴∠BPF=∠BAF=∠PAF-∠BAP=45°-∠BAP.】
30度所对直角边是斜边的一半，AD=AB=2，设DE为x,AE为2x,根据勾股定理算出DE，AE的长。用正方形面积减去三角形面积。