证明奇偶性.(2 17:7:21) 设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.

证明奇偶性.(2 17:7:21) 设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.
证明奇偶性.(2 17:7:21)
 
设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.
（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；
（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.

证明奇偶性.(2 17:7:21) 设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.
(1).因为f(x)为偶函数,
所以f(a)=f(-a),
即f(a)=a²+∣a-a∣+1=a²+0+1
=f(-a)=(-a)²+∣(-a)-a∣+1=a²+∣-2a∣+1,
所以有∣-2a∣=0,
所以a=0.
(2).分析：用反证法.
证明：假设函数f（x）是奇函数,则有f(-x)=-f(x),
即f（-x）=(-x)²+∣(-x)-a∣+1=-f(x)=-(x²+∣x-a∣+1),
上式变形得：2x²=-∣x-a∣-|-x-a|-2≤-2,即x²≤-1,不可能.
所以假设不成立,即无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是
奇函数.
注：牢记定义：奇函数：f(-x)=-f(x),
偶函数：f(x)=f(-x).

(-x0²+∣-x-a∣+1=x²+∣x-a∣+1
x^2+∣-x-a∣+1-x^2-∣x-a∣-1=0
∣-x-a∣-∣x-a∣=0
∣-x-a∣=∣x-a∣
a=0
f（x）=x²+∣x-a∣+1
f（-x）=(-x)²+∣-x-a∣+1
= x^2+∣-x-a∣+1
f(-x...

全部展开

(-x0²+∣-x-a∣+1=x²+∣x-a∣+1
x^2+∣-x-a∣+1-x^2-∣x-a∣-1=0
∣-x-a∣-∣x-a∣=0
∣-x-a∣=∣x-a∣
a=0
f（x）=x²+∣x-a∣+1
f（-x）=(-x)²+∣-x-a∣+1
= x^2+∣-x-a∣+1
f(-x)=-f(x)是奇函数
而 x^2+∣-x-a∣+1不是- x²-∣x-a∣-1所以无论a取任意实数，函数f（x）都不可能是奇函数

收起

(1)`.`f（x）是偶函数
.`.f(-x)=f(x)即x²+∣x-a∣+1=(-x)²+∣-x-a∣+1 得 ∣x-a∣=∣x+a∣
.`.a=0
(2)`.`f(1)=∣1-a∣+2>0
-f(-1)=-∣a+1∣-2<0
.`.f(1)不等于 -f(-1)
.`.无论a取任意实数，函数f（x）都不可能是奇函数。