已知圆C:(x-1)²+（y-2）²=25 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(1)求证:直线l恒过定点(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.（第二题的“当cp垂直于

已知圆C:(x-1)²+（y-2）²=25 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(1)求证:直线l恒过定点(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.（第二题的“当cp垂直于
已知圆C:(x-1)²+（y-2）²=25 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
(1)求证:直线l恒过定点
(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
（第二题的“当cp垂直于弦时为最短弦长”是为什么?）

已知圆C:(x-1)²+（y-2）²=25 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(1)求证:直线l恒过定点(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.（第二题的“当cp垂直于
1）由（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令 2x+y-7=0,x+y-4=0,解得 x=3,y=1
所以,直线 （2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 恒过定点 P（3,1）.
由于 (3-1)^2+(1-2)^2=5<25,所以,点P在圆内,
因此,直线与圆恒有两个交点.
2）圆心（1,2）,半径 r=5
直线被圆所截的弦最短,则圆心到直线的距离最长.
由于 d<=CP=√[(3-1)^2+(1-2)^2]=√5,
所以,直线被圆所截的弦最短时,圆心到直线的距离 d=√5,
此时 CP丄L,
由于 kCP=(1-2)/(3-1)=-1/2,
所以 kL=2,故方程为 y-1=2(x-3) 即 2x-y-5=0,
并且 最短弦长=√（r^2-d^2)=√(25-5)=2√5.
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