在三角形ABC中,AC=7,AD为∠BAC的平分线交BC于D,且AD的长为整数,DC=4根号2,cos∠DAC=3/5,求AD的长和cos问题是求AB的长和cosB的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 12:18:21
在三角形ABC中,AC=7,AD为∠BAC的平分线交BC于D,且AD的长为整数,DC=4根号2,cos∠DAC=3/5,求AD的长和cos问题是求AB的长和cosB的值
在三角形ABC中,AC=7,AD为∠BAC的平分线交BC于D,且AD的长为整数,DC=4根号2,cos∠DAC=3/5,求AD的长和cos
问题是求AB的长和cosB的值
在三角形ABC中,AC=7,AD为∠BAC的平分线交BC于D,且AD的长为整数,DC=4根号2,cos∠DAC=3/5,求AD的长和cos问题是求AB的长和cosB的值
在ΔADC中,AC=7,DC=4√2,
AD的长为整数,cos∠DAC=3/5
根据余弦定理：
DC²=AC²+AD²-2AC*AD*cos∠DAC
∴32=49+AD²-14*AD*3/5
∴ 5AD²-42AD+85=0
∴AD=5,或AD=34/5(舍去）
∴AD=5
cosC=(AC²+CD²-AD²)/(2AC*CD)
=(49+32-25)/(2*7*4√2)
=√2/2
∵C是三角形内角,∴C=π/4
cos∠BAC=2cos²∠DAC-1=-7/25
sin∠BAC=√(1-cos²∠BAC)=24/25
∴cosB=cos(π-π/4-∠BAC)
=cos3π/4cos∠BAC+sin3π/4sin∠BAC
=-√2/2*(-7/25)+√2/2*24/25
=31√2/50
sinB=17√2/50
AB/sinC=AC/sinB
AB=AC*sinC/sinB=(7*√2/2)/(17√2/50)=175/17
AD^2+AC^2-2AD*ACcos ∠DAC=DC^2
AD^2+49-14*3/5AD-32=0 AD=5 AD=17/5(舍)
AB^2+AD^2-2AB*AD*3/5=BD^2
AB/BD=AC/DC BD=4根号2/7AB
AB^2+25-6AB=32/49AB^2
AB=7(舍,由已知数据验证,AD不垂直于BC故AB<>AC) 或 AB=175/17
BD=4根号2/7*175/17
cosB=(AB^2+BD^2-AD^2)/(2AB*BD)=31√2/50