已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值；若不存在,说明理由.

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值；若不存在,说明理由.
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值；若不存在,说明理由.

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值；若不存在,说明理由.
∵f(-1)=0
∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤ (1+x²) /2 对一切x∈R均成立,
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=1/2,c=1/2 -a．
∴f（x）=ax²+1/2x+1/2 -a．
则x≤ax²+1/2x+1/2-a≤(1+x²) /2 对一切x∈R成立,
也即ax²-1/2x+1/2-a≥0
(1−2a)x²−x+2a≥0
故下面4个条件都必须同时符合：
a＞0
（－1/2）²－4a(1/2-a)≤0
1−2a＞0
1−4(1−2a)·2a≤0
解得a=1/4
∴c=1/2-a=1/4
∴当a=1/4,b=1/2,c=1/4时,x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立.