P为等边三角形ABC内一点,角CPB=150度,求证PA^2=PB^2+PC^2
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 21:41:10
P为等边三角形ABC内一点,角CPB=150度,求证PA^2=PB^2+PC^2
P为等边三角形ABC内一点,角CPB=150度,求证PA^2=PB^2+PC^2
P为等边三角形ABC内一点,角CPB=150度,求证PA^2=PB^2+PC^2
【1】
作“辅助线”
在⊿ABC的外部取一点Q,使得∠ACQ=∠BCP.且CQ=CP.
连接AQ,PQ,
【2】
证明:
易知,⊿BCP≌⊿ACQ.
且⊿CPQ为正⊿.
∴PB=AQ, PQ=PC, 且∠AQC=∠BPC=150º
又∠AQP=∠AQC-∠PQC=90º
∴⊿APQ为直角⊿,∠AQP=90º
由勾股定理可知
PA²=PQ²+AQ²
=PB²+PC²
运用旋转变换可以方便地解决问题
将△BPA绕B旋转到△CBP'的位置
根据题意△BPA≌△BP'C
所以∠CBP'=∠ABP,PB=PP',PA=P'C
因为∠CBA=60°
所以∠PBP'=∠CBA=60°
所以△PBP'是等边三角形
所以∠BPP'=60°
因为∠BPC=150°
所以∠CPP'=90°
...
全部展开
运用旋转变换可以方便地解决问题
将△BPA绕B旋转到△CBP'的位置
根据题意△BPA≌△BP'C
所以∠CBP'=∠ABP,PB=PP',PA=P'C
因为∠CBA=60°
所以∠PBP'=∠CBA=60°
所以△PBP'是等边三角形
所以∠BPP'=60°
因为∠BPC=150°
所以∠CPP'=90°
所以P'P^2+PC^2=P'C^2,
所以PA^2=PB^2+PC^2
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http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/dc9664915ed3a78ba877a414.html
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