有道数学题俺不会做教教俺呗某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一快空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P（k）(x(k),y(k))处,其中x（1）=1,y（1）=1,当k>=2时,x(k)=x(k-1)+1-5[T（k-1/5）-T(k-2)/
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:55:06
有道数学题俺不会做教教俺呗某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一快空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P（k）(x(k),y(k))处,其中x（1）=1,y（1）=1,当k>=2时,x(k)=x(k-1)+1-5[T（k-1/5）-T(k-2)/
有道数学题俺不会做教教俺呗
某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一快空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P（k）(x(k),y(k))处,其中x（1）=1,y（1）=1,当k>=2时,
x(k)=x(k-1)+1-5[T（k-1/5）-T(k-2)/5],
y(k)=y(k-1)+T[(k-1)/5]-T[(k-2)/5].,[a]表示非负实数的整数部分,例如[2.6]=2,[0.2]=0.按此方案,第2009棵树种植点的坐标为（）
A.（5,2009）B.（6,2010）C.(3,401) D.（4,402)
有道数学题俺不会做教教俺呗某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一快空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P（k）(x(k),y(k))处,其中x（1）=1,y（1）=1,当k>=2时,x(k)=x(k-1)+1-5[T（k-1/5）-T(k-2)/
这里有两个递推式,{xk},{yk}是分别独立定义的;化简两个递推式并从中发现规律,是解本题的必由之路.
注意到k-15-k-25=15.对k按被5除的余数进行分类：当5l+2≤k≤5l+5（l=0,1,2,…）时,Tk-15-Tk-25=0;当k=5l+1（l=1,2,?3,…?）时,Tk-15-Tk-25=1.
由此可得,Tk-15-Tk-25(k≥2,k∈N)的值是以5为周期而变化的,依次为0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,….发现此规律是解本题的关键所在.因为由此便可以化简两个递推式.
对递推式①,当5l+2≤k≤5l+5(l=0,1,2,…)时,xk=x?k-1?+1;③
当k=5l+1(l=1,2,3,…)时,xk=x?k-1?-4.④
对递推式②,当5l+2≤k≤5l+5(l=0,1,2…)时,yk=y?k-1?;⑤
当k=5l+1(l=1,2,3…)时,yk=y?k-1?+1.⑥
由③④得,x6=(x6-x5)+(x5-x4)+(x4-x3)+(x3-x2)+(x2-x1)+x1=-4+1+1+1+1+x1=x1=1;
由⑤⑥得,y5=y4=y3=y2=y1=1,y6=y5+1=2.
所以第6棵树种植点的坐标为（1,2）.
2 008=5×401+3.
由③④可推得{xk}是以5为周期的数列,于是得
x?2 008?=x3=x2+1=x1+1+1=3.
由⑤⑥可推得y?5l+1?=y?5l+2?=y?5l+3?=y?5l+4?=y?5(l+1)?=l+1(l=0,1,2,…),于是得y?2 008?=401+1=402.
所以第2 008棵树种植点的坐标为(3,402).2009是D