已知a为实数,且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根,则该方程的根所能取得的最小值是多少?请注意，求的是最小值！

已知a为实数,且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根,则该方程的根所能取得的最小值是多少?请注意，求的是最小值！
已知a为实数,且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根,则该方程的根所能取得的最小值是多少?
请注意，求的是最小值！

已知a为实数,且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根,则该方程的根所能取得的最小值是多少?请注意，求的是最小值！
化成有关a的二次方程
xa²+a+x^2=0
因为a为实数,所以△=1-4x³>=0
1>=4x³
x

已知a为实数，且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根，
则 x方程的判别式 (-a^2)^2-4a >=0,
即 a^4-4a=a(a^3-4)>=0.
解之，（a1)>=0,并且
a^3-4>=0,
（a2)>=4^(1/3).[即4的开3次方]
a 的另外2个根是复数，故舍弃。
或者：
（a1)<=0 ...

全部展开

已知a为实数，且使关于x的二次方程x²-a²x+a=0有实根，
则 x方程的判别式 (-a^2)^2-4a >=0,
即 a^4-4a=a(a^3-4)>=0.
解之，（a1)>=0,并且
a^3-4>=0,
（a2)>=4^(1/3).[即4的开3次方]
a 的另外2个根是复数，故舍弃。
或者：
（a1)<=0 并且（a2)<=4^(1/3).
把第一组(a1)(a2)代入原方程，
1、x^2-a^2x+a=0,因为a>=0,2根之和是a,2根之积是a,所以a=0时使x根最小，该跟x=0;
2、根据上述1的讨论知，a取最小值时看使方程的根值最小，
（a2)=4^(1/3)，
x^2-[4^(1/3)]^2x+4^（1/3)=0,
x^2-4^(2/3)x+4^(1/3)=0,
x={4^(2/3) （+ -）[4^(2/3)]^2-4x4^(1/3)}/2
={4^(2/3)(+ -)[0]}/2
{2x2^(1/3)}/2
=2^(1/3).
因为题意是一个关于x的二次方程，故a=0时使方程变为x^2=0也是二次方程，故，也是原题的解；
故，在x=0和x=2^(1/3)中，x=0是原题的解,因为0<2^(1/3)。

同样讨论第2组a值的情况：
（a1)<=0 并且（a2)<=4^(1/3)，
x={a^2 (+ -)[(a^2)^2-4a]^(1/2)}/2
={a^2 (+ -)[(a^4)-4a]^(1/2)}/2
因为x根值式中存在"-4a"项和平方项等，
故，取a=0比取a<0要使x值更小！
当a=0时，讨论回到第1组情况。
故，第1组的解即为问题的解。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
上面一楼的回答很有思路，不妨继续讨论：
化成有关a的二次方程
-xa²+a+x^2=0
因为a为实数，所以△=1-4[（-x）x^2]>=0,
1+4x^3>=0,
x^3 >= -1/4,
在-1<=x<=0范围内，
满足x^3 >= -1/4的解是：
x>=0,（请注意在-1<=x<=0范围内函数y=x和y=x^(1/3)图像的大小关系！）
结合-1<=x<=0前提条件，
故 x=0 是问题的解。

收起