在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 03:11:00
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.求[sin(A+C)/2]^2+cos2B的值.
a^2+c^2-b^2=(1/2)ac.
所以cosB=( a^2+c^2-b^2)/( 2ac)=1/4.
[sin(A+C)/2]^2+cos2B
=[cos (B /2)]^2+cos2B
=(1+ cos B)/2+2 cos^2B-1
=5/8+1/8-1=-1/4.
a^2+c^2-b^2=(1/2)ac
b^2=a^2+c^2-bc/2
余弦定理：b^2=a^2+c^2-2bccosB
两式相减：bc/2=2bccosB
cosB=1/4
[sin(A+C)/2]^2+cos2B
=[1-cos(A+C)]/2+cos2B
=1/2+cosB/2+2(cosB)^2-1
=1/2+1/8+2*(1/4)^2-1
=-1/4
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac==(1/2)ac/2ac=1/4
[sin(A+C)/2]^2+cos2B=cos^B/2+cos2B=1/2(cosB+1)+2cos^B-1=--1/4
用余弦定理
根据余弦公式，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,又a^2+c^2-b^2=(1/2)ac，所以cosB=1/4,又角B是三角形的内角，所以角B是锐角，所以sin(A+C)=sinB=√(1-cosB^2)=√[1-(1/4)^2]=(√15)/4,cos2B=(2cosB^2)-1,所以[sin(A+C)/2]^2+cos2B={[(√15)/4]/2}^2+2×(1/4)^2-1=1/16
由余弦定理2cosB=1\2 cosB为1\4 角b+a+c=180度sin(a+c)=sinb=根号15\3 cos2b为2sinbcosb即根号15\6
所以原式为（5+根号15.）\12