在三角形ABC中,a²tanB=b²tanA,则∠A与∠B的关系是什么? 求过程,感谢

在三角形ABC中,a²tanB=b²tanA,则∠A与∠B的关系是什么? 求过程,感谢
在三角形ABC中,a²tanB=b²tanA,则∠A与∠B的关系是什么? 求过程,感谢

在三角形ABC中,a²tanB=b²tanA,则∠A与∠B的关系是什么? 求过程,感谢
正弦定理
a/sinA=b/sinB=2R
R为外接圆半径
那么a²=(2RsinA)²,b²=(2RsinB)²
所以
(2RsinA)²sinB/cosB=(2RsinB)²sinA/cosA
sinAcosA=sinBcosB
2sinAcosA=2sinBcosB
sin2A=sin2B
2A=2B或2A+2B=180度
所以A=B或A+B=90
A=B或者A与B互余

三角形ABC中
a/sinA=b/sinB
a^2/b^2=sin^2A/sin^2B
a²tanB=b²tanA
a^2/b^2=sin^2A/sin^2B=tanA/tanB=sinAcosB/(cosAsinB)>0
化简得
sinA/sinB=cosB/cosA
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
A=B

a²tanB=b²tanA
a²sinB/cosB=b²sinA/cosA (1)
根据正弦定理
a/sinA=b/sinB
得asinB=bsinA
两边平方得a²sin²B=b²sin²A
所以(1)式可以化为1/sinBcosB=1/sinAcosA

全部展开

a²tanB=b²tanA
a²sinB/cosB=b²sinA/cosA (1)
根据正弦定理
a/sinA=b/sinB
得asinB=bsinA
两边平方得a²sin²B=b²sin²A
所以(1)式可以化为1/sinBcosB=1/sinAcosA
sinBcosB=sinAcosA
1/2sin2B=1/2sin2A
sin2B=sin2A
这样有两种可能性,1,2B=2A,得∠A=∠B
2,2B+2A=180°，得∠A+∠B=90°
三角形ABC是等腰或者直角三角形

收起