已知函数f（x）=（e的x次方-a）²+（e的-x次方-a）²,（0＜a＜2）,求f（x）的最小值

已知函数f（x）=（e的x次方-a）²+（e的-x次方-a）²,（0＜a＜2）,求f（x）的最小值
已知函数f（x）=（e的x次方-a）²+（e的-x次方-a）²,（0＜a＜2）,求f（x）的最小值

已知函数f（x）=（e的x次方-a）²+（e的-x次方-a）²,（0＜a＜2）,求f（x）的最小值
f(x) =e^(2x) -2a (e^x) +a^2 +e^(-2x) -2a (e^-x) +a^2
=e^(2x) +e^(-2x) -2a(e^x +e^-x) +2a^2
=(e^x +e^-x)^2 -2a(e^x +e^-x) +2a^2 -2.
令 t =e^x +e^-x,
则 t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
当且仅当 e^x =e^-x,即x=0 时,等号成立.
所以 f(x) =g(t)
= t^2 -2at +2a^2 -2
= (t-a)^2 +a^2 -2,t≥2.
又因为 0