过x轴上一点P,向圆C：x²+（y-2）²=1作切线,切点分别A,B,则△ABC面积的最大值为多少?请附上解题过程,O(∩_∩)O谢谢

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C(0,2).设P(p,0),PC交AB于D,则PC垂直平分AB,
|CA|=1,|CP|=√(p^2+4),|PA|=√(CP^2-CA^2)=√(p^2+3),
由△ACD∽△PCA得S△ACD/S△PCA=AC^2/PC^2=1/(p^2+4),
S△PCA=(1/2)|PA|*|CA|=(1/2)√(p^2+3),
∴S△ABC=2S△ACD=√(p^2+3)/(p^2+4),
设u=√(p^2+3)>=√3,S△ABC=u/(u^2+1)=1/(u+1/u),u+1/u在u>=√3时是增函数,
∴u=√3时S△ABC取最大值√3/4.