x-sinx的等价无穷小?他们说是X^3/6,但我这样做的：x-sinx=x/2（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=x/2(2-2cos(x/2))=x（1-cos（x/2））=x*2*（sinx/4）^2=x^3/8请问我错在哪里了?

x-sinx的等价无穷小?他们说是X^3/6,但我这样做的：x-sinx=x/2（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=x/2(2-2cos(x/2))=x（1-cos（x/2））=x*2*（sinx/4）^2=x^3/8请问我错在哪里了?
x-sinx的等价无穷小?
他们说是X^3/6,但我这样做的：
x-sinx=x/2（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=x/2(2-2cos(x/2))=x（1-cos（x/2））=x*2*（sinx/4）^2=x^3/8
请问我错在哪里了?

x-sinx的等价无穷小?他们说是X^3/6,但我这样做的：x-sinx=x/2（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=x/2(2-2cos(x/2))=x（1-cos（x/2））=x*2*（sinx/4）^2=x^3/8请问我错在哪里了?
错在（2-2sin(x/2)*cos(x/2)/(x/2）)=2(2-2cos(x/2)) 这一步
你默认了sinθ/θ=1,实际上本题就是要求出sinθ的更高阶无穷小量,这样忽略“过头”了.
事实是,sinθ=θ-θ^3/3!+o(θ^5/5!),(sinθ)/θ=1-θ^2/3!+θ^4/5!+...
在求θ—>0极限时是1,是因为更高阶的无穷小θ^2/3!、θ^4/5!...被忽略了
而本题恰恰是要求次阶无穷小,只能忽略x^5以上更高阶无穷小.

本题用泰勒公式很好处理
因sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
则x-sinx=x^3/3!-x^5/5!+...
而lim(x→0)(x^3/3!)/(x^3/3!-x^5/5!+...)=1
则x^3/3!是x^3/3!-x^5/5!+...的等价无穷小
即x^3/3!是x-sinx的等价无穷小
即x^3/6是x-sinx的等价无穷小...

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本题用泰勒公式很好处理
因sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
则x-sinx=x^3/3!-x^5/5!+...
而lim(x→0)(x^3/3!)/(x^3/3!-x^5/5!+...)=1
则x^3/3!是x^3/3!-x^5/5!+...的等价无穷小
即x^3/3!是x-sinx的等价无穷小
即x^3/6是x-sinx的等价无穷小

还可以这样来考虑：
令x-sinx的等价无穷小为f(x)
即lim(x→0)f(x)=0
则由等价无穷小的定义知lim(x→0)f(x)/(x-sinx)=1
显然极限lim(x→0)f(x)/(x-sinx)是0/0型
由罗必塔法则有
lim(x→0)f(x)/(x-sinx)
=lim(x→0)f'(x)/(1-cosx)
=lim(x→0)f''(x)/sinx
=lim(x→0)f'''(x)/cosx
=lim(x→0)f'''(x)/1=1
则有f'''(x)=1
于是f''(x)=∫f'''(x)dx=∫1dx=x+C
f'(x)=∫f''(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2+C
f(x)=∫f'(x)dx=∫(1/2)x^2dx=x^3/6+C
所以x-sinx的等价无穷小为x^3/6

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