三角形ABC,角C=90度,AC=8,AB=10,P在AC上,AP=2,若圆O圆心在线段BP上,且圆O与AB,AC相切,求圆O半径
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 10:30:42
三角形ABC,角C=90度,AC=8,AB=10,P在AC上,AP=2,若圆O圆心在线段BP上,且圆O与AB,AC相切,求圆O半径
三角形ABC,角C=90度,AC=8,AB=10,P在AC上,AP=2,若圆O圆心在线段BP上,且圆O与AB,AC相切,求圆O半径
三角形ABC,角C=90度,AC=8,AB=10,P在AC上,AP=2,若圆O圆心在线段BP上,且圆O与AB,AC相切,求圆O半径
设圆O半径是R
过点O分别作边AC的垂线OM,边AB的垂线ON,
∵圆O与AB,AC相切,
∴OM=ON=R,都是圆O的半径
方法一：连接AO,延长交BC于E,过点E作EF⊥AB,交AB于F,设CE=X
∵OM=ON,且OM⊥AC,ON⊥AB,
∴AE是∩BAC的角平分线,
则,CE=EF=X,BE=BC-CE=6-X
因为,△BFE∽△BCA
所以,BE/AB=EF/AC
即,(6-x)/10=x/8
解得：x=8/3
即,CE=8/3
因为,AP=2,则CP=8-2=6
那么,△BCP是等腰Rt△,∩BPC=45°
则,△OMP也是等腰Rt△,PM=OM=R
因为,△OMA∽△ECA
所以,OM/CE=AM/AC
即,R / (8/3) = (R+2) / 8
解得：R=1
所以圆O的半径是1
方法二：（前面作法等同）,延长NO交AC于点G
在Rt△GMO中,∩OGM+∩MOG=90°
在Rt△ANG中,∩OGM+∩GAN=90°
则,∩MOG=∩GAN
所以,Rt△GMO∽Rt△BCA,
可得：GM/AC=OM/AC=GO/AB
所以,GM=6/8*R=3/4*R
GO=10/8*R=5/4*R
则,GN=GO+ON=5/4*R+R=9/4*R
因为,AP=2,则CP=8-2=6
那么,△BCP是等腰Rt△,∩BPC=45°
则,△OMP也是等腰Rt△,PM=OM=R
那么,GA=GM+MA=GM+MP+AP=3/4*R+R+2=7/4*R+2
因为,Rt△ANG∽Rt△BCA
则,AG/BA=GN/BC
即,(7/4*R+2) / 10 = (9/4*R) / 6
解得：R=1
所以,圆O的半径是1
下附图参考,将就着看.
圆O与AB AC相切 圆O圆心在线段BP上
所以圆O圆心比是∠A的角平分线与线段BP的交点
连接AO，延长线交BC与点E
建立直角坐标系 以BC、AC所在边分别为X轴和y轴 点C为原点
点A的坐标（0,8） 点B(6,0) P点坐标（0,6）
所以只要求出直线BP与直线AO的交点，然后交点到y轴的距离就是圆O的半径了
角C=90度，AC=8，AB=...
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圆O与AB AC相切 圆O圆心在线段BP上
所以圆O圆心比是∠A的角平分线与线段BP的交点
连接AO，延长线交BC与点E
建立直角坐标系 以BC、AC所在边分别为X轴和y轴 点C为原点
点A的坐标（0,8） 点B(6,0) P点坐标（0,6）
所以只要求出直线BP与直线AO的交点，然后交点到y轴的距离就是圆O的半径了
角C=90度，AC=8，AB=10
cosA=AC/AB=4/5
COS(A/2)=十分之三根号10 tg(A/2)=1/3
所以CE=ACtg(A/2)=8/3
所以E点坐标为（8/3,0）
根据点B(6,0) P点坐标（0,6） A的坐标（0,8）E点坐标为（8/3,0）
可以得出直线BP的方程为y=-x+6 ,直线AE的方程为y=-3x+8
所以就可以求出直线BP与直线AE的交点O坐标为（1,5）
点O到Y轴的距离为1 所以圆O的半径为1
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