如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,求对角线BD的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 10:34:18
如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,求对角线BD的长．
如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,求对角线BD的长．
如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,求对角线BD的长．
(1)因为四边形ABCD是菱形,
所以∠ADP=∠CDP,AD=CD
所以三角形ADP与三角形CDP全等
所以∠DCP=∠DAP
(2)同(1)理可得三角形ABP与三角形CBP全等
由菱形ABCD可得∠ABP=30°
因为PA⊥BF
所以三角形ABP为直角三角形,∠PAB=90°
因为AB=2
所以BP=(4/3)倍根号3
又因为DP:PB等于1:2
所以BD=2倍根号2
1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴DP/PB=CD/BF=CP/PF=1/2，
∴CD=1/2BF，CP=1/2PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）...
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1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴DP/PB=CD/BF=CP/PF=1/2，
∴CD=1/2BF，CP=1/2PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=1/2PB，在Rt△PAB中，
PB^2=2^2+（1/2PB）^2，
解得PB=三分之四根号三，
则PD=三分之二根号三，
∴BD=PB+PD=2/3．
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（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴DP PB =CD BF =CP PF =1 2 ，
∴CD=1 2 BF，CP=1 2 PF，
∴A为BF的中点，
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（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴DP PB =CD BF =CP PF =1 2 ，
∴CD=1 2 BF，CP=1 2 PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=1 2 PB，在Rt△PAB中，
PB2=22+（1 2 PB）2，
解得PB=4 3根号3 ，
则PD=2 3根号3 ，
∴BD=PB+PD=2 根号3 ．
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