已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P使得sinPF1F2/sinPF2F1=a/c,则该双曲线离心率取值范围是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/27 14:11:36
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P使得sinPF1F2/sinPF2F1=a/c,则该双曲线离心率取值范围是多少
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P
使得sinPF1F2/sinPF2F1=a/c,则该双曲线离心率取值范围是多少
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)左右两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)若椭圆上存在点P使得sinPF1F2/sinPF2F1=a/c,则该双曲线离心率取值范围是多少
由正弦定理：sinPF1F2/sinPF2F1=PF2/PF1=a/c
得：PF2=aPF1/c
代入：PF1+PF2=2a
得：(1+a/c)PF1=2a
得：PF1=2ac/(a+c)
知识：椭圆中,PF1∈[a-c,a+c]
所以：a-c≦2ac/(a+c)≦a+c
(a-c)(a+c)≦2ac (a+c)²≧2ac（该式恒成立,不用解）
c²+2ac-a²≧0 同除a²
e²+2e-1≧0
得：e≧-1+√2
所以,离心率的取值范围是：-1+√2≦e
在△PF1F2中，由正弦定理：|PF1|/(sin∠PF2F1)=|PF2|/(sin∠PF1F2)
∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=|PF2|/|PF1|
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)，∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c
∴a/c=|PF2|/|PF1|，而|PF...
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在△PF1F2中，由正弦定理：|PF1|/(sin∠PF2F1)=|PF2|/(sin∠PF1F2)
∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=|PF2|/|PF1|
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)，∴(sin∠PF1F2)/(sin∠PF2F1)=a/c
∴a/c=|PF2|/|PF1|，而|PF1|+|PF2|=2a
∴|PF1|=2ac/(a+c), |PF2|=2a^2/(a+c)
∵a/(sin∠PF1F2)=c/(sin∠PF2F1)中分母sin∠PF1F2不为0
∴P、F1、F2不可能共线，∴(a-c)<|PF1|
∴(a-c)<2ac/(a+c)，∴a^2-c^2<2ac
∴1-e^2<2e
∴解得：根号2-1
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