已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 04:33:06
已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相
已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.
①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.
②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相交于A,B两点,L2与y^2=4x相交于点D,E,求向量AD·EB的最小值.
PS：第一问具体思路我清楚,无非利用设而不求,方程联立,韦达定律来做,但是在最后和面积的联系上卡住了,求具体过程,还有第二问类型的思考过程是怎么样的,
已知抛物线C:y^2=4x,O为坐标原点,焦点F关于y轴的对称点E,过点E作动直线l交抛物线C与M,P两点.①若△POM的面积为5/2,求向量OM与OP的夹角.②过点F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,设L1与y^2=4x相
抛物线C:y^2=4x 焦点F（1,0）,
F关于y轴的对称点E（-1,0）
设直线l: x=ty-1 代入y^2=4x 得：
y^2=4ty-4 即 y^2-4ty+4=0
Δ=16t^2-16>0,t>1或t|y1|
则 y1+y2=4t,y1y2=4
∴S△POM=SΔPOE-SΔMOE
=1/2×OE×(|y2|-|y1|)
=1/2|y2-y1|=5/2
∴y2-y1=±5 y1y2=4
∴x1x2= y1²/4×y2²/4=1
y1²+y2²-2y1y2=25
y1²+y2²=25+8=33
OM=(x1,y1),OP=(x2,y2)
cos< OM,OP>
=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2) ×√(x2²+y2²)]
=5/√(x1²x2²+y1²y2²+x1²y2²+x2²y1²)
=5/√(17+4x1²x2+4x1x2²)
=5/√[17+4x1x2(x1+x2)]
=5/√[17+（4x1+4x2)]
=5/√[17+（y1²+y2²)]
=5/√50=√2/2
∴< OM,OP>=π/4
2
L1:x=my+1 代入y^2=4x 得：
y^2=4my+4 即 y^2-4my-4=0
设A(x3,y3), B(x4,y4)
则 y3+y4=4m,y3y4=-4
设 L2:x=-1/my+1与y^2=4x 联立
设交点：D(x5,y5),G(x6,y6) （改成G不然与前面重）
同理 ：y5+y6=-4/m,y5y6=-4
∴ 向量AD·GB
=(FD-FA)·(FB-FG) （很关键的转换）
=FD·FB-FD·FG-FA·FB+FA·FG
∵ FD·FB=0,FA·FG=0
∴向量AD·GB=-FD·FG-FA·FB
=|FD||FG|+|FA||FB|
=√[(x5-1)²+y5²]·√[(x6-1)²+y6²]+√[(x3-1)²+y3²]·√[(x4-1)²+y4²]
=√[y5²(1+1/m²)·√[y6²(1+1/m²)]+√[y3²(1+m²)·√[y4²(1+m²)] （x5-1=-1/my5 ,.)
=(1+1/m²)|y5y6|+(1+m²)|y3y4|
=4(1+1/m²)+4(1+m²)
=8+4(1/m²+m²)≥8+8√(1/m²*m²)=16
∴m=±1时,向量AD·GB取得最小值16
（第2问,我也想了很久,开始向量AD·GB想直接做,受挫）