如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 01:06:11
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证
PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由
如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.（1）求证PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由
1）证明：CQ=AC-AQ,AP=AB-BP,∵AC=AB,∴CQ=AP,
△CDQ和△ADP中,CQ=AP、∠C=∠DAP=45°、CD=AD,
△CDQ≌△ADP,∠CQD=∠APD,
四边形APDQ内接于圆,
∠PDQ=∠PAQ=Rt∠
当P是AB中点时,四边形APDQ是正方形,
∵DP⊥AB、DQ⊥AC、又PD⊥DQ,∴四边形APDQ是矩形,
∵AP=AQ,∴矩形APDQ是正方形.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B
又∵BP=AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
∴...
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(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B
又∵BP=AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°
∴△PDQ为等腰直角三角形
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形
由（1）知△ABD为等腰直角三角形
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°
∴四边形APDQ为矩形
又∵DP=AP=AB
∴四边形APDQ为正方形
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1）证明：CQ=AC-AQ，AP=AB-BP，
∵AC=AB，
∴CQ=AP，
△CDQ和△ADP中，CQ=AP、∠C=∠DAP=45°、CD=AD，
△CDQ≌△ADP，
∴QD=PD，∠ADP=∠CDQ
同理三角形PDB与三角形ADQ
∴∠PDQ=∠QDA
∴∠PDQ=∠PDB+∠CDQ=90°
∴PDQ是等腰直角三角形...
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1）证明：CQ=AC-AQ，AP=AB-BP，
∵AC=AB，
∴CQ=AP，
△CDQ和△ADP中，CQ=AP、∠C=∠DAP=45°、CD=AD，
△CDQ≌△ADP，
∴QD=PD，∠ADP=∠CDQ
同理三角形PDB与三角形ADQ
∴∠PDQ=∠QDA
∴∠PDQ=∠PDB+∠CDQ=90°
∴PDQ是等腰直角三角形
2）当P是AB中点时，
Q也是AC中点
∴PD=1/2AC,QD=1/2AB
∴AP=QB,PD=AQ
∴四边形APDQ为平行四边形
∵∠A=90°
∴为矩形
∵PD=QD
∴平行四边形APDQ是正方形
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