求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解

求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解
求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解

求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解
dy/dx-y/x=x^2
y=eS1/xdx{Sx^2(eS-1/xdx)dx+c}
y=x(x^2/2+c)
S表示积分符号

dy/dx=2(x-2)^2+y/(x-2) y/(x-2)=u dy=ud(x-2)+(x-2)du dy/dx=dy/d(x-2)=u+(x-2)du/d(x-2) u+(x-2)du/dx=2(x-2

令y/x=u,则dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+u,所以原等式变为xdu/dx+u=u+x,du/dx=x,∴du=xdx,
∫1du=∫xdx,∴u=1/2*x^2+C
将y带入，得到y/x=1/2*x^2+C,即得y=x(1/2*x^2+C).

（常数变易法）
∵dy/dx=y/x ==>dy/y=dx/x
==>ln│y│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=xC
∴根据常数变易法，设原微分方程的解为y=xC(x) (C(x)表示关于x的函数)
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（常数变易法）
∵dy/dx=y/x ==>dy/y=dx/x
==>ln│y│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=xC
∴根据常数变易法，设原微分方程的解为y=xC(x) (C(x)表示关于x的函数)
把它代入原方程，得xC'(x)=x²
==>C'(x)=x
==>C(x)=x²/2+C (C是积分常数)
故原微分方程的通解是y=x(x²/2+C)=x³/2+Cx （C是积分常数）。

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