abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3

abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3

abc属于实数,a²+b²+c²=1求证|a+b+c|≤根号3
证明：
因为
(a-b)²≥0得：
a²+b²≥2ab；
同理可得：
b²+c²≥2bc
c²+a²≥2ac
上面三式相加得：
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)；
a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
ab+bc+ac≤1；
（|a+b+c|）²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
=1+2(ab+bc+ac)≤1+2•(1)=3
即证：|a+b+c|≤√3.

利用柯西不等式是最简捷的！
（a＋b＋c）^2≦（1^2＋1^2＋1^2）（a^2＋b^2＋c^2）＝3×1＝3，∴｜a＋b＋c｜≦√3。