已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+c=根号2b1.求证tanA/2.tanC/2的值2.求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:07:59
已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+c=根号2b1.求证tanA/2.tanC/2的值2.求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc已知△ABC中,角A,B,C所对的边分

已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+c=根号2b1.求证tanA/2.tanC/2的值2.求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc
已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+c=根号2b
1.求证tanA/2.tanC/2的值
2.求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc

已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+c=根号2b1.求证tanA/2.tanC/2的值2.求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc
1.由正弦定理知:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=sinA·2R
b=sinB·2R
c=sinC·2R
而a+c=√2b
即sinA·2R+sinC·2R=√2sinB·2R
∴sinA+sinC=√2sinB
∵π-B=A+c
∴sinB=sin(π-B)=sin(A+C)
根据和差化积公式:sinA+sinC=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
倍角公式:sin(A+C)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
则2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)=2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
即cos(A/2-C/2)=√2cos(A/2+C/2)
cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]
两边同时除以cos(A/2)cos(C/2),得:
1+tan(A/2)tan(C/2)=√2[1-tan(A/2)tan(C/2)]
令tan(A/2)tan(C/2)=x
1+x=√2(1-x)
1+x=√2-√2x
√2x+x=√2-1
(√2+1)x=√2-1
x=(√2-1)/(√2+1)
x=3-2√2
即tan(A/2)tan(C/2)=3-2√2
2.∵tanA=tan(A/2+A/2)=2tan(A/2)/[1-tan²(A/2)]
1/tanA=[1-tan²(A/2)]/2tan(A/2)
同理:tanC=tan(C/2+C/2)=2tan(C/2)/[1-tan²(C/2)]
1/tanC=[1-tan²(C/2)]/2tan(C/2)
则1/tanA+1/tanC
=[1-tan²(A/2)]/2tan(A/2)+[1-tan²(C/2)]/2tan(C/2)
=[tan(C/2)-tan(C/2)tan²(A/2)+tan(A/2)-tan(A/2)tan²(C/2)]/[2tan(A/2)tan(C/2)]
=[tan(A/2)+tan(C/2)][1-tan(A/2)tan(C/2)]/[2tan(A/2)tan(C/2)]
=[tan(A/2)+tan(C/2)]×[1-(3-2√2)]/[2×(3-2√2)]
=(√2+1)[tan(A/2)+tan(C/2)]
而B=π-(A+C)
B/2=π/2-(A+C)/2
tan(B/2)=tan[π/2-(A+C)/2]=cot(A/2+C/2)=1/tan(A/2+C/2)
则2/tan(B/2)
=2tan(A/2+C/2)
=2[tan(A/2)+tan(C/2)]/[1-tan(A/2)tan(C/2)]
=2[tan(A/2)+tan(C/2)]/[1-(3-2√2)]
=(√2+1)[tan(A/2)+tan(C/2)]
∴2/tan(B/2)=1/tanA+1/tanC

在三角形ABC中,角A`B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,求b等于多少? 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-√3 sinA)cosB=0在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-√3 sinA)cosB=0若a+c=1,求b的取值范围! 已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.a=1,B=45°△ABC的面积为2,求△ABC的外接圆的直径 在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=4b=5c=根号61⑴求角C的大小⑵求△ABC的面积 已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c,a>c,a,c,b成等差数列已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c,a>c,a,c,b成等差数列,|AB|=2,说明顶点C的轨迹形状 △ABC中角A、B、C分别所对的边为a、b、c,且满足Cos B+Cos C=b/a +c/a,求证:△ABC为直角三角形△ABC中角A、B、C分别所对的边为a、b、c,且满足Cos B+Cos C=b/a +c/a, 求证:△ABC为直角三角形. 在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,.b,c,已知b=2,c=3,sinA=2√2/3.求ABC的面积和a的值 在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知b2+c2-a2=bc.求角A的大小 在三角形ABC中角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,若c/b 三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c/b 三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若c/b 在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=2,c=3,sinA=(2根号2)/3.求△ABC的面积及a的...在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=2,c=3,sinA=(2根号2)/3.求△ABC的面积及a的值.……… 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1).求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 在钝角三角形ABC中 角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知a=根号3.b=根号2.B=45求A,c和三角形ABC的面积S三角形abc 在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知c=2,C=π/3,求△ABC面积的最大值 在△ABC中,已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosB+bcosA=csinC则sinA+sinB的最大值为 在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C= -1/4 求sinC的值帮帮 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且