如图,二次函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2).（1）求抛物线的解析式.（2）设该抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于c点,问抛物线上是否存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:56:09
如图,二次函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2).（1）求抛物线的解析式.（2）设该抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于c点,问抛物线上是否存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出
如图,二次函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2).（1）求抛物线的解析式.
（2）设该抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于c点,问抛物线上是否存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点p的坐标,若不存在,请说明理由.（3
）设该抛物线的对称轴交x轴于点D,问对称轴上是否存在点N,使△NDB与△OCB相似?若存在,请直接写出点N的坐标
如图,二次函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2).（1）求抛物线的解析式.（2）设该抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交于c点,问抛物线上是否存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出
(1)设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c
∵函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2)
∴{a+b+c=2
4a+2b+c=3/2
c=3/2
解得:{a=-1/2
b=1
c=3/2
∴抛物线的解析式是y=-(1/2)x²+x+(3/2)
(2)抛物线上存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形.
①当梯形以AB、CP为底时,
∵点C的坐标是(0, 3/2), 抛物线的对称轴是直线X=1,
∴由抛物线的对称性, 可知, 点P的坐标是(2, 3/2)
②当梯形以AC、BP为底时,
BP∥AC,
设直线AC的解析式是y=kx+b,将A(-1, 0),C(0, 3/2)代入,得
{-k+b=0
b=3/2
解得:{k=3/2
b=3/2
∴直线AC的解析式是y=(3/2)x+(3/2)
∵BP∥AC,
∴设直线BP的解析式是y=(3/2)x+z
将B(3, 0)代入,得(3/2) ×3+z=0
∴z=-9/2
∴直线BP的解析式是y=(3/2)x-(9/2)
直线BP与抛物线的交点即为点P
由{ y=(3/2)x-(9/2)
y=-(1/2)x²+x+(3/2)
解得:{x1=3 {x2=-4
Y1=0 y2=-21/2
∴点P的坐标是(-4, -21/2)
(1) 对称轴上存在点N,使△NDB与△OCB相似.
N1(1,1) 、N2(1,-1)、N3(1, 8/3)、N4(1, -8/3)
【过程如下:抛物线的对称轴为直线x=1, 与x轴交于点D(1, 0)
①当△NDB∽△COB时,直线BC与直线x=1的交点就是点N,
此时点N的坐标是N1(1,1)
由对称性,可得点N2(1,-1),
②当△BDN∽△COB时,由BD/CO=DN/OB,
得DN=(OB·BD)/CO=8/3
∴N3(1,8/3),
由对称性,
可得点N4(1,
-8/3)】
1）
因为(2,3/2),(0,3/2)关于直线x=1对称
所以抛物线的顶点为(1,2)
设抛物线y=a(x-1)²+2
将（0,3/2）代人，得，
a+2=3/2
解得a=-1/2
所以抛物线为：y=(-1/2)(x-1)²+2=(-1/2)x²+x+3/2
2)过C作x轴的平行线，交抛物线...
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1）
因为(2,3/2),(0,3/2)关于直线x=1对称
所以抛物线的顶点为(1,2)
设抛物线y=a(x-1)²+2
将（0,3/2）代人，得，
a+2=3/2
解得a=-1/2
所以抛物线为：y=(-1/2)(x-1)²+2=(-1/2)x²+x+3/2
2)过C作x轴的平行线，交抛物线于点P,
此时四边形ABPC是梯形,
当x=0时，y=3/2
所以C(0，3/2)
因为C,P关于x=1对称
所以P(2.3/2)
3)抛物线的对称轴为x=1,交x轴于点D(1,0)
分情况，
第一种，，△NDB∽△COB,直线x=1和直线BC的交点就是点N,
N(1，3/4)
(1，3/4)关于x轴的对称点，
N(1，-3/4)
第二种，△BDN∽△COB
(1，4/3),(1，-4/3)
所以有四个点
收起