如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠A＝90°,点D为BC上任意一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点．

如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠A＝90°,点D为BC上任意一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点．
如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠A＝90°,点D为BC上任意一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点．

如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠A＝90°,点D为BC上任意一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点．
（1）ME⊥MF,ME=MF.理由如下：
连接AM..∵∠A=∠AFD=∠AED=90°∴矩形AEDF∴AE=FD
∵AB=AC∴∠B=45°∴∠FDB=∠B=45°∴BF=DF∴BF=AE
∵M为BC的中点∴AM=BM=1/2BC,∠EAM=1/2∠BAC=45°,∠AMB=∠BMF+∠AMF=90°
在⊿AEM和⊿BFM中,∵BF=AE,∠B=∠EAM=45°,BM=AM
∴⊿AEM≌⊿BFM∴ME=MF,∠AME=∠BMF
∴∠EMF=∠AME+∠AMF=∠BMF+∠AMF=90°
(2)仍然成立.类似说明.
连接AM..∵∠FAE=∠AFD=∠AED=90°∴矩形AEDF∴AE=FD
∵AB=AC∴∠B=45°∴∠FDB=∠B=45°∴BF=DF∴BF=AE
∵M为BC的中点∴AM=BM=1/2BC,∠EAM=1/2∠BAC=45°,∠AMB=∠BMF-∠AMF=90°
在⊿AEM和⊿BFM中,∵BF=AE,∠B=∠EAM=45°,BM=AM
∴⊿AEM≌⊿BFM∴ME=MF,∠AME=∠BMF
∴∠EMF=∠AME-∠AMF=∠BMF-∠AMF=90°

连接AM。

因为，△ABC是等腰直角三角形，M为斜边BC中点

所以，AM垂直BC，AM＝BM，△ABM全等于△CAM

所以，∠MAC＝∠MBA＝45度

由题知，△BFD是等腰直角三角形，四边形AFDE是矩形

所以，∠FBD＝45度，BF＝FD，FD＝AE

所以，△BFM全等于△AEM

所以，∠BMF＝∠AME，FM＝EM

所以，∠FME＝∠FMA＋∠AME＝∠BMF＋∠FMA＝90度

所以，△FME是等腰直角三角形，∠FME是直角。

第一问楼上做出来了，第二问只是把所有的都健在延长线上，方法类似，同样成立。。。

可以做，悬赏何在？