已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是

已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是

已知2x²+6y²=3,那么x+y的最大值是
有没有搞错,楼上两位,明明简单的题目要这么麻烦算
由柯西不等式得
（1/2+1/6）（2x^2+6y^2）≥（√2/2×√2x+√6/6×√6y）^2
即2/3×3≥（x+y）^2
（x+y）^2≤2
-√2≤x+y≤√2
故x+y的最大值为√2

令x+y=t
x=t-y 代入2x²+6y²=3中，得
2(t^2-2ty+y^2)+6y^2-3=9
8y^2-4ty+(2t^2-3)=0
判别式=16t^2-32(2t^2-3)>=0
t^2-2(2t^2-3)>=0
-3t^2+6>=0
t^2<=2
-√2<=t<=√2
x+y的最大值是=√2

由Cauchy不等式得
（1/2+1/6）（2x^2+6y^2）≥（√2/2×√2x+√6/6×√6y）^2
即2/3×3≥（x+y）^2
（x+y）^2≤2
-√2≤x+y≤√2
∴x+y的最大值为√2

设x+y=t ,y=t-x代入2x²+6y²=3
得： 2x²+6(t-x)²-3=0
即 8x²-12tx+6t²-3=0
则方程有解
∴Δ=144t²-32(6t²-3)≥0
∴-48t²+96≥0 ∴t²≤2
∴-√2≤t≤√2
∴x+y的最大值为√2