在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB是直角,CB=1,CA=根号3,AA1=根号6,M为侧棱CC1上一点,且AM垂直BA1.（1）求证AM垂直平面A1BC.（2）求二面角B-AM-C的大小.第一题最好能用两种方法解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 02:09:04
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB是直角,CB=1,CA=根号3,AA1=根号6,M为侧棱CC1上一点,且AM垂直BA1.（1）求证AM垂直平面A1BC.（2）求二面角B-AM-C的大小.第一题最好能用两种方法解
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB是直角,CB=1,CA=根号3,AA1=根号6,M为侧棱CC1上一点,且AM垂直BA1.
（1）求证AM垂直平面A1BC.（2）求二面角B-AM-C的大小.第一题最好能用两种方法解
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB是直角,CB=1,CA=根号3,AA1=根号6,M为侧棱CC1上一点,且AM垂直BA1.（1）求证AM垂直平面A1BC.（2）求二面角B-AM-C的大小.第一题最好能用两种方法解
第一个问题：
方法一：
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1.
∵∠ACB＝90°,∴BC⊥AC.
由BC⊥CC1、BC⊥AC、CC1∩AC＝C,得：BC⊥平面ACC1A1,而AM在平面ACC1A1上,
∴AM⊥BC,又AM⊥BA1、BC∩BA1＝B,∴AM⊥平面A1BC.
方法二：
以点C的原点、CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,并使A、B、C1分别落在x轴、y轴、z轴的正半轴上.
容易写出以下各点的坐标：
A（√3,0,0）、B（0,1,0）、C（0,0,0）、A1（√3,0,√6）、C1（0,0,√6）.
令点M的坐标为（0,0,t）.则：
向量AM＝（－√3,0,t）、向量CB＝（0,1,0）,
∴向量AM·向量CB＝0＋0＋0＝0,∴AM⊥CB,又AM⊥BA1,而CB∩BA1＝B,
∴AM⊥平面A1BC.
第二个问题：
方法一：
由第一个问题的结论,有：AM⊥平面A1BC,∴AM⊥AC.
令AM与A1C的交点为N.由AN⊥CN.
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥AC.
由勾股定理,有：A1C＝√（AA1^2＋AC^2）＝√（6＋3）＝3.
由三角形面积公式,有：△AA1C的面积＝（1/2）AA1×AC＝（1/2）A1C×AN,
∴√6×√3＝3AN,∴AN＝√2.
再由勾股定理,有：CN＝√（AC^2－AN^2）＝√（3－2）＝1.
由第一个问题的方法一叙述过程,有：BC⊥平面ACC1A1,即BC⊥平面ACM,
∴CN是BN在平面ACM上的射影,∴∠BNC是二面角B－AM－C的平面角.
∴tan∠BNC＝BC/CN＝1/1＝1,∴∠BNC＝45°.
∴二面角B－AM－C的大小为45°.
方法二：
依第一个问题的方法二建立空间直角坐标系.则：
向量AM＝（－√3,0,t）、向量BA1＝（√3,－1,√6）.
∵AM⊥BA1,∴向量AM·向量BA1＝0,∴－3＋0＋√6t＝0,∴t＝3/√6＝√6/2.
∴向量AM＝（－√3,0,√6/2）.
令A1C与AM的交点为N,则可设向量AN＝k向量AM＝（－√3k,0,√6k/2）,其中k不为0.
∵向量AC＝（－√3,0,0）,∴向量CN＝向量AN－向量AC＝（√3－√3k,0,√6k/2）.
由第一个问题的结论,有：AM⊥平面A1BC,∴AN⊥CN,∴向量AN·向量CN＝0,
∴－√3k（√3－√3k）＋0＋6k^2/4＝0,∴－3＋3k＋3k/2＝0,∴－1＋k＋k/2＝0,∴k＝2/3.
∴向量CN＝（√3/3,0,√6/3）,而向量CB＝（0,1,0）,
∴向量BN＝向量CN－向量CB＝（√3/3,－1,√6/3）.
∴｜向量CN｜＝√（1/3＋0＋6/9）＝1、｜向量BN｜＝√（1/3＋1＋6/9）＝√2.
向量CN·向量BN＝1/3＋0＋6/9＝1.
由第一个问题的方法一叙述过程,有：BC⊥平面ACC1A1,即BC⊥平面ACM,
∴CN是BN在平面ACM上的射影,∴∠BNC是二面角B－AM－C的平面角.
而cos∠BNC＝向量CN·向量BN/（｜向量CN｜｜向量BN｜）＝1/√2,∴∠BNC＝45°,
∴二面角B－AM－C的大小为45°.