在三角形ABC中角A=90度,AB=4,AC=3,M是AB上的动点,过M点作MN//BC交AC于点N以MN为直径作圆O,并在圆O内作内接矩形AMPN,令AM=X.（1）用含X的代数式表示三角形MNP的面积S（2）当X为何值时,圆O与直线BC相切

在三角形ABC中角A=90度,AB=4,AC=3,M是AB上的动点,过M点作MN//BC交AC于点N以MN为直径作圆O,并在圆O内作内接矩形AMPN,令AM=X.（1）用含X的代数式表示三角形MNP的面积S（2）当X为何值时,圆O与直线BC相切
在三角形ABC中角A=90度,AB=4,AC=3,M是AB上的动点,过M点作MN//BC交AC于点N
以MN为直径作圆O,并在圆O内作内接矩形AMPN,令AM=X.
（1）用含X的代数式表示三角形MNP的面积S
（2）当X为何值时,圆O与直线BC相切
（3）在动点M的运动过程中,记三角形MNP与梯形BCNM重合的面积为Y,试求Y关于X的函数表达式,并求X为何值时,Y的值最大,最大值是多少

在三角形ABC中角A=90度,AB=4,AC=3,M是AB上的动点,过M点作MN//BC交AC于点N以MN为直径作圆O,并在圆O内作内接矩形AMPN,令AM=X.（1）用含X的代数式表示三角形MNP的面积S（2）当X为何值时,圆O与直线BC相切
（1）在三角形ABC中角A=90度,AB=4,AC=3
所以BC=5,sinB=3/5,tanB=3/4
因为MN//BC
所以△AMN∽△ABC
所以AM/AB=AN/AC=MN/BC
即x/4=AN/3=MN/5
所以AN=3x/4,MN=5x/4
又AMPN为矩形
所以PM=AN=3x/4,PN=AM=x
所以三角形MNP的面积s=PM*PN/2=3x/4*x/2=3x²/8
即s=3x²/8,（0＜x≤4）
（2）AM=x,则MB=4-x
当r=MN/2=MBsinB,圆O与直线BC相切
即（5x/4）/2=（4-x）*3/5
解得x=96/49
即当96/49为何值时,圆O与直线BC相切
（3）当AP=MN=BC/2=5/2,
即5x/4=5/2,x=2时,P在BC上,为BC的中点
所以
当0＜x≤2时
三角形MNP与梯形BCNM重合的面积y=s=3x²/8
当2＜x≤4时
设PM交BC于E,PN交BC于F
AM=x,则MB=4-x
所以EM=MBtanB=(4-x）*3/4=3-3x/4
所以PE=PM-EM=3x/4-(3-3x/4)=3x/2-3
所以s△PEF/s△PMN=(PE/PM)²=[(3x/2-3)/(3x/4)]²=(2-4/x)²
所以s△PEF=(2-4/x)²s△PMN=(2-4/x)²*3x²/8
所以三角形MNP与梯形BCNM重合的面积
y=s△PMN-s△PEF
=3x²/8-(2-4/x)²*3x²/8
=3x²/8*[1-(2-4/x)²]
=-9/8x²+6x-6
即当0＜x≤2时,y=3x²/8
当2＜x≤4时,y=-9/8x²+6x-6
又0＜x≤2时,
y=3x²/8中,y随x增大而增大
即0＜x≤2时,y的最大值=3*2²/8=1.5
2＜x≤4时y=-9/8x²+6x-6
当x=-6/[2（-9/8）]=8/3时,y的最大值=-9/8（8/3）²+6*8/3-6=2
所以当x=8/3时,y最大值=2

(1):s=3x2/8(那个2是X平方，我这里没mathtype打不出）
（2）：x=96/49
（3）：当X小于等于2时 Y=3X2/8
当X大于2时 Y=1/2*(12/5-3/5X)(15/4X-5)
草草一算 计算有点错也有可能 需要完整过程的话把U箱给我

（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴AM AB =AN AC ，即x 4 =AN 3 ；
∴AN=3 4 x；
∴S=S△MNP=S△AMN=1 2 •3 4 x•x=3 8 x2．（0＜x＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=1 2 M...

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（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴AM AB =AN AC ，即x 4 =AN 3 ；
∴AN=3 4 x；
∴S=S△MNP=S△AMN=1 2 •3 4 x•x=3 8 x2．（0＜x＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=1 2 MN．
在Rt△ABC中，BC= AB2+AC2 =5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴AM AB =MN BC ，即x 4 =MN 5 ，
∴MN=5 4 x
∴OD=5 8 x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=5 8 x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴BM BC =QM AC ，
∴BM=5×5 8 x 3 =25 24 x，AB=BM+MA=25 24 x+x=4
∴x=96 49 ，
∴当x=96 49 时，⊙O与直线BC相切；
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴AM AB =AO AP =1 2 ，
∵AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，y=S△PMN=3 8 x2，
∴当x=2时，y最大=3 8 ×4=3 2 ，
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴(PF AB )2=S△PEF S△ABC ，
∴S△PEF=3 2 （x-2）2；
y=S△MNP-S△PEF=3 8 x2-3 2 （x-2）2=-9 8 x2+6x-6，
当2＜x＜4时，y=-9 8 x2+6x-6=-9 8 （x-8 3 ）2+2，
∴当x=8 3 时，满足2＜x＜4，y最大=2．
综上所述，当x=8 3 时，y值最大，最大值是2．

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